Limite con funzioni limitate.

[StellaMartensitica]

Salve,
l'esercizio fa così

$y=(3+5x+x^2)*sen(1/x)+(2x^2+4x^3)*sen(3/(2x^2))$

E la consegna è trovare gli asintoti obliqui nella forma $y=mx+q$ per $x->+infty$

Io ho fatto così ma credo di aver utilizzato in maniera inadeguata le equivalenze asintotiche per trovare il termine noto dell'asintoto.

$m=lim_(x->+infty)(y/x)=lim_(x->+infty)((3/x+5+x)*sen(1/x)+(2x+4x^2)*sen(3/(2x^2)))=$

$=lim_(x->+infty){[((3/x^2+5/x+1)*sen(1/x))/(1/x)]+[((2/x+4)*sen(3/(2*x^2)))/(1/x^2)]}=$

$=1+4*3/2=7$

$q=lim_(x->+infty)(y-mx)=lim_(x->+infty)((3+5x+x^2)*sen(1/x)+(2x^2+4x^3)*sen(3/(2x^2))-7x)$

$lim_(x->+infty)sin(1/x)/(1/x)=1$

$lim_(x->+infty)sin(3/(2x^2))/(3/(2x^2))=1$

Da cui (penso che l'errore sia qui):

$q=lim_(x->+infty)((3+5x+x^2)*(1/x)+(2x^2+4x^3)*(3/(2x^2))-7x)=$

$=lim_(x->+infty)[3/x+5+x+3+6x-7x]=8$

Quindi l'asintoto è $y= 7x+8$

Si può sostituire così gli asintotici nelle somme (il risultato è corretto!)?
Come si fa l'esercizio altrimenti (anche senza asintotici, anche De L'hospital ma sarebbe meglio di no)?

[cooper1]

quello che scrivi mi pare tutto corretto: tu non hai usato l'asintoticità che lavora male con le somme, ma hai usato i limiti notevoli nei singoli pezzi e questo va bene

[StellaMartensitica]

Allora non ho capito bene l'asintoticità. Per esempio in quest'altro esercizio:
$y=sqrt(4x^2+8x)$
Volendo trovare l'asintoto a $+infty$, come per il precedente:

$m=lim_(x->+infty)sqrt(4x^2+8x)/x=2$

Metodo che porta al q sbagliato:

$q=lim_(x->+infty)[sqrt(4x^2+8x)-2x]$

però...

$lim_(x->+infty)[sqrt(4x^2+8x)/(2x)]=1$ (quindi sono asintoticamente equivalenti...) e allora uso l'equivalenza asintotica come prima...


$q=lim_(x->+infty)[sqrt(4x^2+8x)-2x]=lim_(x->+infty)(2x-2x)=0$

Ma se in realtà il risultato sarebbe q=2 e non zero...

[Mephlip]

"SirDanielFortesque":ì
però...

$lim_(x->+infty)[sqrt(4x^2+8x)/(2x)]=1$ (quindi sono asintoticamente equivalenti...) e allora uso l'equivalenza asintotica come prima...


$q=lim_(x->+infty)[sqrt(4x^2+8x)-2x]=lim_(x->+infty)(2x-2x)=0$

Ma se in realtà il risultato sarebbe q=2 e non zero...

Sbagli il limite.
Devi applicare Taylor alla radice per ottenere l'approssimazione corretta.
Se $\varepsilon\to0$ per $x\tox_0$ si ha che $(1+\varepsilon)^(\gamma)=1+\gamma\varepsilon+o(\varepsilon)$, i termini successivi sono stati trascurati in quanto $o(\varepsilon)$.
Nel nostro caso $\varepsilon=\frac{2}{x}$ che infatti tende a $0$ per $x\to+\infty$ e $\gamma=\frac{1}{2}$, pertanto
$$\lim_{x\to +\infty} \left( \sqrt{4x^2+8x}-2x\right)=\lim_{x\to +\infty} \left( 2x \sqrt{1+\frac{2}{x}}-2x\right)=\lim_{x\to +\infty} \left\{2x \left[1+\frac{2}{2x}+o \left(\frac{1}{x}\right)\right]-2x\right\}=2$$
Se non hai ancora fatto Taylor non è un problema, hai bisogno solo del primo ordine e perciò basta il limite notevole della radice quadrata per giungere allo stesso risultato.

[StellaMartensitica]

Ok. Grazie. (Taylor lo abbiamo iniziato ieri).