Limite con funzione razionale e cancellazione parti principali
Questo il testo dell'esercizio:
$\lim_{x\to +\infty}[(x^3 + 2x + 1)^(1/5) - x^(3/5)]x^(8/5) $
(scusate non riesco a fare uscire il simbolo di radice)
Il mio tentativo di svolgimento è il seguente, è da risolversi usando algebra, stime asintiche, o piccolo, gerarchia di infiniti e affini:
$\lim_{x\to+infty}x^(3/5)[(1 + 2/x^2 + 1/x^3)^(1/5) - 1]x^(8/5)$
E qua mi pianto, ottengo in un modo o nell'altro una forma indeterminata $0$ per $\infty$.
Sul bramanti si parla di un caso simile, quando parla di stime asintotiche, e cioè:
$(1-sqrt(1+x)) ~ -(1/2)x$ per $x\to 0$
Però non da particolari indicazioni su come ci si è arrivati
$\lim_{x\to +\infty}[(x^3 + 2x + 1)^(1/5) - x^(3/5)]x^(8/5) $
(scusate non riesco a fare uscire il simbolo di radice)
Il mio tentativo di svolgimento è il seguente, è da risolversi usando algebra, stime asintiche, o piccolo, gerarchia di infiniti e affini:
$\lim_{x\to+infty}x^(3/5)[(1 + 2/x^2 + 1/x^3)^(1/5) - 1]x^(8/5)$
E qua mi pianto, ottengo in un modo o nell'altro una forma indeterminata $0$ per $\infty$.
Sul bramanti si parla di un caso simile, quando parla di stime asintotiche, e cioè:
$(1-sqrt(1+x)) ~ -(1/2)x$ per $x\to 0$
Però non da particolari indicazioni su come ci si è arrivati
Risposte
limite notevole :
$ lim_(z-> 0)((1+z)^alpha-1)/z=alpha $
quindi,per $z rarr 0$,si ha $(1+z)^alpha-1 ~alphaz $
allora,tornando al tuo limite,il termine tra le parentesi quadre è asintotico a $1/5(2/x^2+1/x^3)$
$ lim_(z-> 0)((1+z)^alpha-1)/z=alpha $
quindi,per $z rarr 0$,si ha $(1+z)^alpha-1 ~alphaz $
allora,tornando al tuo limite,il termine tra le parentesi quadre è asintotico a $1/5(2/x^2+1/x^3)$
Ok, ti ringrazio!
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