Limite con funzione integrale
Ciao a tutti 
Ho la funzione $f(x)=\int_0^x \frac{e^{t^2}-1}{\sqrt{1-t^2}-1} dt$
Dopo averne trovato dominio e tracciato il grafico, devo calcolare il limite $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x f(x)}{\ln(1+x^2)}$.
Nella prima parte non trovo problemi: il dominio è $[-1,1]$ e la funzione è monotona decrescente e interseca gli assi nell'origine, mantenendosi convessa per $x<0$ e concava per $x>0$.
Le difficoltà emergono però nel limite, dove incontro la forma indeterminata $0/0$. Non so esattamente come affrontarlo: avevo pensato agli ordini, ma come si può (se si può) calcolare l'ordine dell'integrale?
Ho la funzione $f(x)=\int_0^x \frac{e^{t^2}-1}{\sqrt{1-t^2}-1} dt$
Dopo averne trovato dominio e tracciato il grafico, devo calcolare il limite $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x f(x)}{\ln(1+x^2)}$.
Nella prima parte non trovo problemi: il dominio è $[-1,1]$ e la funzione è monotona decrescente e interseca gli assi nell'origine, mantenendosi convessa per $x<0$ e concava per $x>0$.
Le difficoltà emergono però nel limite, dove incontro la forma indeterminata $0/0$. Non so esattamente come affrontarlo: avevo pensato agli ordini, ma come si può (se si può) calcolare l'ordine dell'integrale?
Risposte
Tipicamente per questi limiti si usa il teorema di de l'Hopital che consente di liberarsi della funzione integrale.
Ma anche uno sviluppo di Taylor di \(f\) al secondo ordine non sarebbe male...
Oppure:
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim }\frac{xf(x)}{\ln(1+x^2)}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{1}{ln(1+x^2)^{\frac{1}{x^2}}}\frac{f(x)}{x}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{f(x)}{x}\underset{=}{H}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}f'(x)=\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}-1}=-1\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim }\frac{xf(x)}{\ln(1+x^2)}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{1}{ln(1+x^2)^{\frac{1}{x^2}}}\frac{f(x)}{x}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{f(x)}{x}\underset{=}{H}=\underset{x \rightarrow 0}{lim}f'(x)=\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}-1}=-1\)
Grazie
Ho provato con i vostri suggerimenti, però con Taylor proprio non ho capito come fare.
*Metodo de l'Hopital:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x f(x)}{\ln(1+x^2)} =\text{Hopital} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)+xf'(x)}{\frac{2x}{x^2+1}} = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{(x^2+1)f(x)}{2x}+\frac{(x^2+1)f'(x)}{2}) =$
$=\lim_{x \to 0^{+}} (\frac{(x^2+1)f(x)}{2x})-1= \text{Hopital} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{2xf(x)+(x^2+1)f'(x)}{2})-1=$
$=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x^2+1)f'(x)}{2}-1=-2$
*Sviluppo di Taylor: ...cioé devo cercare McLaurin per l'integranda?
$\frac{e^{t^2}-1}{\sqrt{1-t^2}-1}=\frac{t^2}{-1/2t^2}=-2$
...ma poi che mi consente di fare?
*Metodo totissimus:
Ok, ma mi viene $-2$
Ho provato con i vostri suggerimenti, però con Taylor proprio non ho capito come fare.
*Metodo de l'Hopital:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x f(x)}{\ln(1+x^2)} =\text{Hopital} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)+xf'(x)}{\frac{2x}{x^2+1}} = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{(x^2+1)f(x)}{2x}+\frac{(x^2+1)f'(x)}{2}) =$
$=\lim_{x \to 0^{+}} (\frac{(x^2+1)f(x)}{2x})-1= \text{Hopital} \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{2xf(x)+(x^2+1)f'(x)}{2})-1=$
$=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x^2+1)f'(x)}{2}-1=-2$
*Sviluppo di Taylor: ...cioé devo cercare McLaurin per l'integranda?
$\frac{e^{t^2}-1}{\sqrt{1-t^2}-1}=\frac{t^2}{-1/2t^2}=-2$
...ma poi che mi consente di fare?
*Metodo totissimus:
Ok, ma mi viene $-2$
Per quanto riguarda il metodo proposto da tostissimus attenzione, è un po' scivoloso: ok la prima uguaglianza ma nella seconda uguaglianza si sta passando al limite solo al primo fattore e non si passa sul secondo. La cosa va messa a posto col teorema del limite di un prodotto, scritta come è scritta non va bene.
Errore di battitura, \(-1\) al posto di \(-2\).
Ma guarda, non c'è bisogno di molti conti per sviluppare con Taylor la funzione integrale.
Infatti hai sicuramente \(f(0)=0\); inoltre è \(f^\prime (0)=-2\) perché i noti sviluppi:
\[
e^y-1= y +\text{o}(y) \quad \text{e} \quad \sqrt{1-y}-1= -\frac{y}{2}+\text{o}(y) \quad \text{per } y\to 0
\]
importano:
\[
\lim_{x\to 0} f^\prime (x) = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{-x^2/2} = -2\; ;
\]
pertanto al primo ordine si ha:
\[
f(x)=-2x+\text{o}(x^2)
\]
intorno a \(0\). D'altra parte è pure \(\log (1+y)= y+\text{o}(y)\) per \(y\to 0\), quindi:
\[
\log (1+x^2) = x^2+\text{o}(x^2)
\]
intorno a \(0\) e conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x\ f(x)}{\log (1+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{-2x^2+\text{o}(x^2)}{x^2+\text{o}(x^2)} =-2\; .
\]
Infatti hai sicuramente \(f(0)=0\); inoltre è \(f^\prime (0)=-2\) perché i noti sviluppi:
\[
e^y-1= y +\text{o}(y) \quad \text{e} \quad \sqrt{1-y}-1= -\frac{y}{2}+\text{o}(y) \quad \text{per } y\to 0
\]
importano:
\[
\lim_{x\to 0} f^\prime (x) = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{-x^2/2} = -2\; ;
\]
pertanto al primo ordine si ha:
\[
f(x)=-2x+\text{o}(x^2)
\]
intorno a \(0\). D'altra parte è pure \(\log (1+y)= y+\text{o}(y)\) per \(y\to 0\), quindi:
\[
\log (1+x^2) = x^2+\text{o}(x^2)
\]
intorno a \(0\) e conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x\ f(x)}{\log (1+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{-2x^2+\text{o}(x^2)}{x^2+\text{o}(x^2)} =-2\; .
\]
Ah, ma quindi quando devo calcolare il limite di una funzione integrale con Taylor devo (sto per dire cavolate, eh):
1) calcolare il limite della sua derivata (nel caso sopra $-2$);
2) integrare tale limite (nel caso sopra $\int_0^x (-2) dt = -2[t]_0^x= -2x$)
3) impiegare questo risultato nel limite effettivo...
...oppure no?
1) calcolare il limite della sua derivata (nel caso sopra $-2$);
2) integrare tale limite (nel caso sopra $\int_0^x (-2) dt = -2[t]_0^x= -2x$)
3) impiegare questo risultato nel limite effettivo...
...oppure no?
Ma anche no...
Il problema è determinare il polinomio di Taylor di \(f\) in \(0\) di ordine \(1\).
Per fare ciò, basta applicare la definizione, i.e.:
\[
P_1(x;0):= f(0) + f^\prime (0)\ x+\text{o}(x)\; ,
\]
tenere presente che \(f(0)=0\) e che (per il Teorema Fondamentale del Calcolo):
\[
f^\prime (x) := \frac{e^{x^2}-1}{\sqrt{1-x^2} -1}
\]
si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(f^\prime (0)=\lim_{x\to 0} f^\prime (x) =-2\).
Il problema è determinare il polinomio di Taylor di \(f\) in \(0\) di ordine \(1\).
Per fare ciò, basta applicare la definizione, i.e.:
\[
P_1(x;0):= f(0) + f^\prime (0)\ x+\text{o}(x)\; ,
\]
tenere presente che \(f(0)=0\) e che (per il Teorema Fondamentale del Calcolo):
\[
f^\prime (x) := \frac{e^{x^2}-1}{\sqrt{1-x^2} -1}
\]
si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(f^\prime (0)=\lim_{x\to 0} f^\prime (x) =-2\).
Ok, capito. Grazie mille!
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