Limite con formule di trigonometria

[Liyus]

Ciao,
ho bisogno di aiuto con questo limite

$lim_{x to (\pi)/2}frac{sinx-1}{cosx*(cos(x/2)-sin(x/2))}$

io ho provato sostituendo $ t = x - (\pi)/2 $ così che il limite diventa

$lim_{t to 0}frac{sin(t+(\pi)/2)-1}{cos(t+(\pi)/2)*(cos((t+(\pi)/2)/2)-sin((t+(\pi)/2)/2))}$

ora per le proprietà di trigognometria il valore degli angoli associati per $cos$ e $sin$

$ sin(t+(\pi)/2) = cos(t) $
$ cos(t+(\pi)/2) = -sin(t) $

il mio primo problema è sapere se queste sono corrette oppure si fa in qualche altro modo siccome non sono sicuro

$ cos((t+(\pi)/2)/2) = -sin((t-(\pi)/2)/2) $
$ sin((t+(\pi)/2)/2) = cos((t-(\pi)/2)/2) $

diventando il limite

$lim_{t to 0}frac{cos(t)-1}{-sin(t)*(-sin((t-(\pi)/2)/2)-cos((t-(\pi)/2)/2))}$

nell'eventuale caso la sostituzione è corretta devo usare limiti notevoli per risolvere il limite....

Potreste indicarmi dove ho sbagliato oppure se sono presenti altri modi per risolvere questo tipo di limiti
nel caso in cui lo svolgimento è corretto(ne dubito) potreste per cortesia mostrarmi dove ho sbagliato e come risolvere.

grazie.

[pilloeffe]

Ciao Liyus,

Limite Trigognometrico cos'è? Un limite trigonometrico che si merita la gogna?

Scherzi a parte, proseguendo da dove sei arrivato si ha:

$ lim_{t to 0} frac{cos(t)-1}{sin(t) [sin((t-(\pi)/2)/2)+cos((t-(\pi)/2)/2)]} = lim_{t to 0} frac{cos(t)-1}{sin(t) sqrt{2} sin(t/2)} = 1/sqrt{2} lim_{t to 0} frac{cos(t)-1}{2sin(t/2)cos(t/2) sin(t/2)} = $
$ = - frac{1}{sqrt{2}} lim_{t to 0} frac{1 - cos(t)}{2 sin^2 (t/2)cos(t/2)} = - frac{2}{sqrt{2}} lim_{t to 0} frac{frac{1 - cos(t)}{t^2}}{frac{sin^2 (t/2)}{(t/2)^2}cos(t/2)} = - 2/sqrt{2} \cdot frac{1/2}{1 \cdot 1} = - 1/sqrt{2} = - sqrt{2}/2 $

[Summerwind78]

Ciao

solo per amore di correttezza, ti faccio presente che si dice Trigonometria e non Trigognometria

[Liyus]

Grazie per la soluzione e scusate per l'errore correggo adesso, ho scritto in maniera sintetica anche il titolo per abitudine(sapete come sono fatti i forum... )