Limite con Formula di Taylor + Peano
Salve a tutti,
devo calcolare il seguente limite utilizzando la la formula di Taylor con resto di Peano (cioè o-piccoli):
$ lim_(x -> 0) (e^x - e^sinx)/(tgx - x) = 1/2$
il problema è che a me risulta sempre $ +oo $
, approssimando $senx$ e $tgx$ fino a $k = 3$ ed $e^x$ fino a $k = 2$. Se è possibile, potreste mostrare i passaggi critici quando si lavora con gli o-piccoli (soprattutto con chi confrontare i termini).
Grazie anticipatamente
devo calcolare il seguente limite utilizzando la la formula di Taylor con resto di Peano (cioè o-piccoli):
$ lim_(x -> 0) (e^x - e^sinx)/(tgx - x) = 1/2$
il problema è che a me risulta sempre $ +oo $
, approssimando $senx$ e $tgx$ fino a $k = 3$ ed $e^x$ fino a $k = 2$. Se è possibile, potreste mostrare i passaggi critici quando si lavora con gli o-piccoli (soprattutto con chi confrontare i termini).Grazie anticipatamente
Risposte
Su questo forum io non sono certo quello che può dare consigli però a me il limite viene!
fai così:
sviluppi tutto al grado \(\displaystyle n=3 \); e ti verrà:
\(\displaystyle \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) -1 -x - \frac{x^2}{2} + o(x^3)}{\frac{x^3}{3} + o(x^3)} \)
Quindi
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{\frac{x^3}{3} + o(x^3)} \)
dividi tutto per \(\displaystyle x^3 \) e ti verrà \(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
dovrebbe essere giusto!
fai così:
sviluppi tutto al grado \(\displaystyle n=3 \); e ti verrà:
\(\displaystyle \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) -1 -x - \frac{x^2}{2} + o(x^3)}{\frac{x^3}{3} + o(x^3)} \)
Quindi
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{\frac{x^3}{3} + o(x^3)} \)
dividi tutto per \(\displaystyle x^3 \) e ti verrà \(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} \)\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
dovrebbe essere giusto!
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.
Mi è poco chiaro come hai fatto lo sviluppo di $e^sinx$. In particolare, se:
$e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
e
$sinx = x - x^3/6 + o(x^3)$
nello sviluppo $e^sinx$ ad un certo punto, hai dovuto svolgere il cubo di un trinomio (poiché si sostituisce $x$ con $sinx$, per il cambio di variabile) ?
Grazie
Mi è poco chiaro come hai fatto lo sviluppo di $e^sinx$. In particolare, se:
$e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
e
$sinx = x - x^3/6 + o(x^3)$
nello sviluppo $e^sinx$ ad un certo punto, hai dovuto svolgere il cubo di un trinomio (poiché si sostituisce $x$ con $sinx$, per il cambio di variabile) ?
Grazie
Allora, dopo aver fatto 1 quadrato e 2 cubi dello sviluppo di $sinx$, ho ottenuto quello che hai trovato tu, cioè $e^sinx = 1 + x + x^2/2 + o(x^3)$ e quindi il limite è risultato appunto $1/2$. Però ancora non ho capito se è necessario fare tutti quei calcoli con le potenze, perché mi sembrano un troppi.
Grazie.
Grazie.
Con un po' d'occhio ti accorgi subito quali sono i termini che vengono "mangiati" dal resto di Peano e quindi spesso non serve scriversi tutti i termini.
"Seneca":
Con un po' d'occhio ti accorgi subito quali sono i termini che vengono "mangiati" dal resto di Peano e quindi spesso non serve scriversi tutti i termini.
Credo di aver capito cosa intendi. Per cui problema risolto
Grazie a tutti !
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