Limite con formula di Taylor

[kondor1]

Salve a tutti,ho bisogno delle vostre risposte per sapere se ho risolto bene questo limite :
[tex]\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{x}sin\sqrt{x} + \log(1-x)}{x(2\sqrt{x}+x)^2}[/tex]

Ho considerato al numeratore [tex]sin\sqrt{x} \sim \sqrt{x}[/tex] per [tex]x \to 0[/tex], poi ho sviluppato con Taylor [tex]\log(1-x)[/tex] ponendo [tex]-x=t[/tex]: [tex]\log(1-x)=-x-{x^2 \over 2} -{x^3 \over 3} +o(x^3)[/tex]..

Detto questo il limite risultante è: [tex]lim_{x \to 0} \frac {x-x-{x^2 \over 2}-{x^3 \over 3}+o(x^3)}{4x^2+x^3+4x^2\sqrt{x}}[/tex], che facendo il rapporto dei coefficienti di grado inferiore([tex]x^2[/tex]) risulta uguale a [tex]{-{1 \over 2}\over 4} = -{1 \over 8}[/tex].
Il mio dubbio riguarda principalmente la correttezza del confronto locale [tex]lim_{x \to 0}sin\sqrt{x} \sim \sqrt{x}[/tex].
Grazie in Anticipo

[ciampax]

Ti sei perso alcuni ordini di infinitesimo a numeratore: in maniera "formale" puoi scrivere

[tex]$\sqrt{x}\sin\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x^3}}{6}+o(\sqrt{x^3})\right)=x-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$[/tex]

e considerato lo sviluppo del logaritmo

[tex]$\sqrt{x}\sin\sqrt{x}+\log(1-x)=-\frac{2x^2}{3}+o(x^2)$[/tex]

[kondor1]

"ciampax":Ti sei perso alcuni ordini di infinitesimo a numeratore: in maniera "formale" puoi scrivere

[tex]$\sqrt{x}\sin\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x^3}}{6}+o(\sqrt{x^3})\right)=x-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$[/tex]

e considerato lo sviluppo del logaritmo

[tex]$\sqrt{x}\sin\sqrt{x}+\log(1-x)=-\frac{2x^2}{3}+o(x^2)$[/tex]

Si hai ragione,la mia approssimazione sarebbe stata giusta se il grado minore a denominatore fosse stato [tex]x[/tex], grazie