Limite con fattoriali
Ciao a tutti, e spero di non aver sbagliato sezione.
Dunque, il io problema è il seguente, e riguarda il limite di una successione:
$\lim_{n \to \infty} frac{root(n)(n(n+1)(n+2)...(2n))}{n} = 4/e$
Ho provato a risolverlo in vari modi, in particolare scomponendo il "fattoriale" sotto radice n-esima come
$n(n+1)(n+2)...(2n) = frac{(2n)!}{(n-1)!}$
e sostituendo dentro la radice e portando dentro anche il denominatore, esplicitando poi i fattoriali
$root(n)frac{frac{(2n)!}{(n-1)!}}{n^n} = root(n)frac{(2n)!}{(n-1)!*n^n}$
A questo punto però mi sono incasinato io, perchè cercando di semplificare
$root(n)frac{(2n)!}{(n-1)!*n^n} = root(n)frac{(2n)!}{n!*n^{n-1}}$
mi sono bloccato, non capendo più come andare avanti.
Ho tentato quindi di portare direttamente fuori un valore dal fattoriale, moltiplicando e portando fuori un n
$frac{root(n){frac{n*(2n)!}{n!}}}{n} = frac{n^nroot(n){frac{(2n)!}{n!}}}{n} = frac{root(n){frac{(2n)!}{n!}}}{n^{1-n}}$
ma anche qui niente, più che altro perchè non riesco a trovare una qualche espressione per il quoziente dei due fattoriali.
Ditemi se sbaglio, ma intuisco che l'esponente del denominatore $n^{n-1}$ nell'espressione
$root(n)frac{(2n)!}{n!*n^{n-1}}$
possa essere trasformato in una qualche successione generatrice di $e$ (eventualmente applicando il metodo risolutivo per i limiti $t = e^{lnt}$, oppure applicandogli la radice e facendolo diventare $n^{1-frac{1}{n}}$)
Ho anche provato in un qualche modo a espandere $n(n+1)...(2n)$, ma mi è sembrato un tentativo un po' disperato.
Qualcuno ha qualche idea di come fare?
P. S. Mi scuso se i miei tentativi di risoluzione si fermano ai primi due/tre passaggi, ma andando oltre cominciavo solo a essere disordinato e, molto probabilmente, a sbagliare anche i passaggi.
Dunque, il io problema è il seguente, e riguarda il limite di una successione:
$\lim_{n \to \infty} frac{root(n)(n(n+1)(n+2)...(2n))}{n} = 4/e$
Ho provato a risolverlo in vari modi, in particolare scomponendo il "fattoriale" sotto radice n-esima come
$n(n+1)(n+2)...(2n) = frac{(2n)!}{(n-1)!}$
e sostituendo dentro la radice e portando dentro anche il denominatore, esplicitando poi i fattoriali
$root(n)frac{frac{(2n)!}{(n-1)!}}{n^n} = root(n)frac{(2n)!}{(n-1)!*n^n}$
A questo punto però mi sono incasinato io, perchè cercando di semplificare
$root(n)frac{(2n)!}{(n-1)!*n^n} = root(n)frac{(2n)!}{n!*n^{n-1}}$
mi sono bloccato, non capendo più come andare avanti.
Ho tentato quindi di portare direttamente fuori un valore dal fattoriale, moltiplicando e portando fuori un n
$frac{root(n){frac{n*(2n)!}{n!}}}{n} = frac{n^nroot(n){frac{(2n)!}{n!}}}{n} = frac{root(n){frac{(2n)!}{n!}}}{n^{1-n}}$
ma anche qui niente, più che altro perchè non riesco a trovare una qualche espressione per il quoziente dei due fattoriali.
Ditemi se sbaglio, ma intuisco che l'esponente del denominatore $n^{n-1}$ nell'espressione
$root(n)frac{(2n)!}{n!*n^{n-1}}$
possa essere trasformato in una qualche successione generatrice di $e$ (eventualmente applicando il metodo risolutivo per i limiti $t = e^{lnt}$, oppure applicandogli la radice e facendolo diventare $n^{1-frac{1}{n}}$)
Ho anche provato in un qualche modo a espandere $n(n+1)...(2n)$, ma mi è sembrato un tentativo un po' disperato.
Qualcuno ha qualche idea di come fare?
P. S. Mi scuso se i miei tentativi di risoluzione si fermano ai primi due/tre passaggi, ma andando oltre cominciavo solo a essere disordinato e, molto probabilmente, a sbagliare anche i passaggi.
Risposte
Se non ricordo male, tempo fa credo di averlo risolto, mettendolo nella forma $e^(1/n(logn+log (n+1)+log (n+2)+...+log (2n-1)+log(2n))-logn) $ facendo vedere che per $n->+infty $ il limite ad esponente equivale come somma infinita al calcolo del l'integrale $int_{1}^{2}$ $(logx)$ $=log4-1$ d a cui $e^(log4-1) $ $=4/e $, mi sbaglio?
Altro modo è quello di usare l'approssimazione asintotica di stirling.
Altro modo è quello di usare l'approssimazione asintotica di stirling.
$lim_(n->infty)(1/n)(log(n+1)+log (n+2)+......+log(2n)-nlog (n))$ $= lim_(n->infty)(1/n)(logn+log (1+1/n)+logn+log (1+2/n)+...+logn+log2) -nlogn$ $=lim_(n->infty)(1/n)×sum_{1}^{i=n}log (1+i/n) $ $=int_{1}^{2}logx $ $=log4-1$ , pertanto il limite risulta $e^(log4-1)=e^log4×e^(-1)=4×1/e=4/e $, sono leciti i passaggi? E' corretta la scrittura in questa forma?
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