Limite con fattoriale, esponenziali e logaritmi
Salve a tutti, ho un esercizio su un limite che non riesco proprio a risolvere. Ho provato a svolgere il prodotto, a raccogliere, a ricondurre ad un limite notevole, ma non riesco a venirne a capo!
Il limite è il seguente:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 (n^{\frac{3}{n}}-1)}{\ln(n^{2n} + 2n!)}
\]
Grazie infinite a tutti per l'aiuto
Il limite è il seguente:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 (n^{\frac{3}{n}}-1)}{\ln(n^{2n} + 2n!)}
\]
Grazie infinite a tutti per l'aiuto
Risposte
Il numeratore, che è nella forma \(\infty\cdot 0\) va trattato usando le approssimazioni al primo ordine dell'esponenziale (e del logaritmo, se necessario).
Per il denominatore, la formula di Stirling di dà un'idea di quale sia la parte principale dell'infinito dentro il logaritmo.
Per il denominatore, la formula di Stirling di dà un'idea di quale sia la parte principale dell'infinito dentro il logaritmo.
Ti ringrazio moltissimo!
Il fatto è che è il limite di una successione e non penso di poter applicare la formula di Stirling...non sono possibili altre risoluzioni?
Il fatto è che è il limite di una successione e non penso di poter applicare la formula di Stirling...non sono possibili altre risoluzioni?
"powamaker":
Il fatto è che è il limite di una successione e non penso di poter applicare la formula di Stirling...
Perché no?
"powamaker":
non sono possibili altre risoluzioni?
Dipende da quel che sai... Ad esempio, se sai che \(n!\) è un infinito di ordine inferiore a \(n^n\) puoi fare lo stesso il conto.
P.S.: Ma lì sotto hai \(2\ n!\) oppure \((2n)!\)? Nel secondo caso, senza Stirling la vedo un po' complicata...
Al denominatore ho [tex]2[/tex] [tex]n![/tex]
Bene, allora prova... Mostraci dove arrivi e ne parliamo.
E' errato dire che, essendo l'elevamento a potenza di ordine superiore rispetto al logaritmo, il limite sia infinito?
Sì, almeno in linea di principio.
Infatti, il logaritmo abbassa drasticamente l'ordine di infinito del suo argomento.
Fai i conti.
Infatti, il logaritmo abbassa drasticamente l'ordine di infinito del suo argomento.
Fai i conti.
Ok. Materialmente, come posso cominciare la risoluzione del limite?
Come fai di solito in questi casi... Come fai?
Svilupperei il prodotto al numeratore e poi separerei in due frazioni aventi come numeratori i due addendi del numeratore della frazione ottenuta dopo aver sviluppato il prodotto
Ma anche no.
Come ho detto:
Come ho detto:
"gugo82":
Il numeratore, che è nella forma \(\infty\cdot 0\) va trattato usando le approssimazioni al primo ordine dell'esponenziale (e del logaritmo, se necessario).
Cosa intendi per "approssimazioni al primo ordine dell'esponenziale"?
Come lo esprimi il limite notevole dell'esponenziale usando le notazioni asintotiche o gli o-piccoli?
Non capisco, scusami
Conosci il limite notevole dell'esponenziale?
Sai riformularlo usando il linguaggio degli o-piccoli, ossia dei simboli di Landau?
O, detto altrimenti, conosci l'approssimazione di Taylor dell'esponenziale?
Sai riformularlo usando il linguaggio degli o-piccoli, ossia dei simboli di Landau?
O, detto altrimenti, conosci l'approssimazione di Taylor dell'esponenziale?
No, dobbiamo ancora affrontare questo argomento ad Analisi...
Bene.
Ma a riscrivere il limite notevole:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{e^x -1}{x}=1
\]
come \(e^x=1+x+\text{o}(x)\) ci siete arrivati o no?
Ma a riscrivere il limite notevole:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{e^x -1}{x}=1
\]
come \(e^x=1+x+\text{o}(x)\) ci siete arrivati o no?
@Powamaker.
In alternativa osserva che
$EElim_(n to infty) (n^2 (n^(3/n)-1))/("log"(n^(2n) + 2n!))=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/("log"(n^(2n)+2n"!"))$
(per una nota proprietà dei logaritmi)$=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/("log" n^(2n))$(per la stima asintotica evidenziata da Gugo)$=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/(2n"log" n)=..=lim_(n to oo)3/2 (e^((3"log"n)/n)-1)/((3"log"n)/n)=..$ :
saluti dal web.
In alternativa osserva che
$EElim_(n to infty) (n^2 (n^(3/n)-1))/("log"(n^(2n) + 2n!))=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/("log"(n^(2n)+2n"!"))$
(per una nota proprietà dei logaritmi)$=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/("log" n^(2n))$(per la stima asintotica evidenziata da Gugo)$=lim_(n to oo)(n^2(e^((3"log"n)/n)-1))/(2n"log" n)=..=lim_(n to oo)3/2 (e^((3"log"n)/n)-1)/((3"log"n)/n)=..$
:saluti dal web.
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