Limite con fattoriale

[d4ni1]

Svolgendo una serie di funzioni mi sono imbattuto in questo limite con parametro:

$ lim_(n -> infty) (a^(n^2))/(n!) $

Dunque il problema maggiore è che per a>1 la forma è indeterminata ma non posso usare de l Hopital perchè il fattoriale non si deriva, tantomeno è continuo.

Dunque spiego brevemente il mio "procedimento":

pongo a=1

Allora
$ lim_(n -> infty) (1^(n^2))/(n!) =$ $ lim_(n -> infty) (1)/(n!) =0$

Quindi, per ogni a<1,

$ lim_(n -> infty) (a^(n^2))/(n!)$$ infty) (1)/(n!) =0$

Per a>1 però non so come dimostrare la divergenza.

Inoltre io così facendo ho un pò "barato", perchè sapevo anticipatamente che per a<1 o >1 il limite si comportava diversamente e quindi ho impostato tutto dimostrando ciò, ma come avrei potuto ricavare questo valore da solo?
Io mi son fatto due idee, o che mi ricordo più maggiorazioni delle funzioni standard (esponenziale sopra potenza, potenza sopra logaritmo ecc..) ma facendo così potrebbero sempre tornarmi fuori cose strane tipo questa, oppure, idea un pò più bizzarra, non esiste un modo per "continuizzare" la funzione esponenziale a funzione reale in modo che dopo sia derivabile (questo è un dubbio che trascende da questo esercizio e me l ero già chiesto più volte)...
grazie..

[Antimius]

In che senso barato? Se ti accorgi che per $a=1$ ha un certo comportamento e lo fai vedere, dov'è il problema? Indipendetntemente dal fatto che magari già lo sapevi.
Comunque, lo conosci il criterio del rapporto?

[Seneca1]

$ lim_(n -> infty) (a^(n^2))/(n!) $

Conoscerai sicuramente questo: $lim_n (n^n)/(n!) = +oo$

Questo significa che, da un certo $bar n$ in poi, $n! < n^n$. Allora puoi minorare:

$(a^(n^2))/(n!) > (a^(n^2))/(n^n)$


P.S.: $lim_n (a^(n^2))/(n^n)$ è banalissimo da calcolare.