Limite con esponenziali?Proprietà logaritmi?
Scusate se vi tartasso con questi limiti, ma sempre più esercitandomi, e con il vostro aiuto sto migliorando le risoluzioni.
Ho questo limite, a primo impatto l'ho risolto in questo modo, ma poi farò cilecca con qualche proprietà dei logaritmi, oppure completamente impostato male.
$\lim_{x \to \+oo}sen[(1-2/(x^2-x))^(x^2)]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^(log(1-2/(x^2-x))^(x^2))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^((x^2)log(1-2/(x^2-x)))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^((x^2)log1)-e^((x^2)log(2/(x^2-x)))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^0-e^((x^2)log(2/(x^2-x)))]$
Presumo che fin qui il procedimento "sia corretto"...ci sarà qualche proprietà che mi sfugge, perchè il secondo esponenziale mi dovrebbe dare come risultato $e^2$ così da avere come risultato del limite $sen(e^0/e^2)$ = $sen(1/e^2)$
Grazie ai gentili utenti disponibili.
Ho questo limite, a primo impatto l'ho risolto in questo modo, ma poi farò cilecca con qualche proprietà dei logaritmi, oppure completamente impostato male.
$\lim_{x \to \+oo}sen[(1-2/(x^2-x))^(x^2)]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^(log(1-2/(x^2-x))^(x^2))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^((x^2)log(1-2/(x^2-x)))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^((x^2)log1)-e^((x^2)log(2/(x^2-x)))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^0-e^((x^2)log(2/(x^2-x)))]$
Presumo che fin qui il procedimento "sia corretto"...ci sarà qualche proprietà che mi sfugge, perchè il secondo esponenziale mi dovrebbe dare come risultato $e^2$ così da avere come risultato del limite $sen(e^0/e^2)$ = $sen(1/e^2)$
Grazie ai gentili utenti disponibili.
Risposte
Non puoi spezzare il logaritmo in quel modo.
Comunque, a prescindere da ciò, ti consiglio di usare il limite notevole \(\displaystyle \bigg(1+\frac{1}{x} \bigg )^x \to e \)
Comunque, a prescindere da ciò, ti consiglio di usare il limite notevole \(\displaystyle \bigg(1+\frac{1}{x} \bigg )^x \to e \)
"Antimius":
Non puoi spezzare il logaritmo in quel modo.
Comunque, a prescindere da ciò, ti consiglio di usare il limite notevole \(\displaystyle \bigg(1+\frac{1}{x} \bigg )^x \to e \)
Capisco, quindi facendo così è corretto?
$\lim_{x \to \+oo}sen[(1-2/(x^2-x))^(x^2)]$ considerando il limite notevole $\lim_{x \to \+oo} x log (1+1/x)->1 rArr \lim_{x \to \+oo} x log (1-1/x)->-1 rArr \lim_{x \to \+oo} x^2 log (1-1/x^2)->-2$
Quindi posso scrivere = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^((x^2)log(1-2/(x^2(1-1/x))))]$ = $\lim_{x \to \+oo}sen[e^(-2)]$ = $sen(1/e^2)$
E' corretto?
Il $2$ non è dovuto al quadrato, ma al fatto che hai $2$ dentro la parentesi.
Hai infatti \(\displaystyle \bigg(1+\frac{a}{x}\bigg)^x \to e^a \), ma \(\displaystyle \bigg(1 + \frac{1}{x^2}\bigg)^{x^2} \to e\) e per vederlo basta sostituire $y=x^2$.
Detto ciò,
$$-\frac{x^2-x}{2} \log \bigg(1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to 1$$
perché $y = -\frac{x^2-x}{2} \to \infty$.
Perciò basta scrivere $$x^2 = \underbrace{- \frac{2x^2}{x^2-x}}_{\to -2} \bigg( -\frac{x^2-x}{2} \bigg)$$
e, quindi,
$$x^2 \log \bigg( 1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to -2$$
Hai infatti \(\displaystyle \bigg(1+\frac{a}{x}\bigg)^x \to e^a \), ma \(\displaystyle \bigg(1 + \frac{1}{x^2}\bigg)^{x^2} \to e\) e per vederlo basta sostituire $y=x^2$.
Detto ciò,
$$-\frac{x^2-x}{2} \log \bigg(1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to 1$$
perché $y = -\frac{x^2-x}{2} \to \infty$.
Perciò basta scrivere $$x^2 = \underbrace{- \frac{2x^2}{x^2-x}}_{\to -2} \bigg( -\frac{x^2-x}{2} \bigg)$$
e, quindi,
$$x^2 \log \bigg( 1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to -2$$
"Antimius":
Il $2$ non è dovuto al quadrato, ma al fatto che hai $2$ dentro la parentesi.
Hai infatti \(\displaystyle \bigg(1+\frac{a}{x}\bigg)^x \to e^a \), ma \(\displaystyle \bigg(1 + \frac{1}{x^2}\bigg)^{x^2} \to e\) e per vederlo basta sostituire $y=x^2$.
Detto ciò,
$$-\frac{x^2-x}{2} \log \bigg(1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to 1$$
perché $y = -\frac{x^2-x}{2} \to \infty$.
Perciò basta scrivere $$x^2 = \underbrace{- \frac{2x^2}{x^2-x}}_{\to -2} \bigg( -\frac{x^2-x}{2} \bigg)$$
e, quindi,
$$x^2 \log \bigg( 1 + \frac{1}{-\frac{x^2-x}{2}} \bigg) \to -2$$
Ringrazio per le note corrette, ma non riesco a capire i passaggi matematici, per cambiare il segno si effettua 1/ - l'inverso di $2/(x^2-x)$
Quel passaggio non serve a cambiare segno ma a scrivere il limite nella forma \(\displaystyle \bigg( 1 + \frac{1}{y} \bigg)^y \) dove $y$ è una qualunque cosa che tenda a $\infty$. Il segno l'ho soltanto inglobato al denominatore.
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