Limite con esponenziali

[gcappellotto]

Buongiorno
sto cercando di calcolare il seguente limite, lo devo fare solo applicando i LIMITI NOTEVOLI

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin (2x)}-e^{\sin(x)}}{\tan(x)}$

ho riscritto in questo modo

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{2\sin (x)\cos(x)}-e^{\sin(x)}}{\tan(x)}$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin(x)}(e^{2 \cdot \cos(x)}-1)}{\tan(x)}$

ma a questo punto non vedo come procedere
gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[Berationalgetreal]

È sbagliato il raccoglimento.

\[ \frac{e^{2\sin (x) \cos (x)}}{e^{\sin (x)}}= e^{2\sin (x) \cos (x) - \sin (x)} = e^{\sin (x) \left (2\cos (x) -1 \right ) } \]

Quindi:

\[ \lim_{x \to 0} {e^{\sin (x)} } \cdot \lim_{x \to 0} {\frac{e^{\sin (x) \left ( 2\cos (x) -1 \right ) } -1}{\tan (x)} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{\sin (x) \left ( 2\cos (x) -1 \right ) }{\sin (x) \left (2\cos (x) -1 \right )}}= 1 \]

[taurus85]

il denominatore tgx tende a x, al numerarore aggiungi e sottrai 1 ottieni e^(sin2x)-1+1-e^(senx) applicando i limiti notevoli
e^(sin2x)-1 $=$ sin2x $=$ 2x -(e^(senx)-1) $=$ -senx $=$ -x, ottieni (2x-x)/x=1....

[taurus85]

il denominatore tgx tende a x, al numerarore aggiungi e sottrai 1 ottieni e^(sin2x)-1+1-e^(senx) applicando i limiti notevoli
e^(sin2x)-1 $=$ sin2x $=$ 2x -(e^(senx)-1) $=$ -senx $=$ -x, ottieni (2x-x)/x=1....

[Rigel1]

"taurus85":il denominatore tgx tende a x, al numerarore aggiungi e sottrai 1 ottieni e^(sin2x)-1+1-e^(senx) applicando i limiti notevoli
e^(sin2x)-1 $=$ sin2x $=$ 2x -(e^(senx)-1) $=$ -senx $=$ -x, ottieni (2x-x)/x=1....

Per quanto l'idea di fondo sia corretta, la sua implementazione non lo è.
Trascurare gli infinitesimi in questo modo può funzionare fin quando non si cancellano gli infinitesimi principali.
Per capirci, prova a utilizzare il tuo metodo per calcolare il limite
\[
\lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^3}\,.
\]

[taurus85]

in questo caso non è possibile utilizzare i limiti notevoli bisogna ricorrere alle serie di taylor a mente dovrebbe venire - 1/6.....

[Berationalgetreal]

"taurus85":in questo caso non è possibile utilizzare i limiti notevoli bisogna ricorrere alle serie di taylor a mente dovrebbe venire - 1/6.....

Non è detto però che non si possano usare per semplificare un po' il limite:

\[ e^{\sin (x)} - e^x = e^x (e^{\sin (x) -x} -1) \sim \sin (x) - x, \ x \to 0 \]

Quindi il limite diventa

\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin (x) - x}{x^3}} \]

Questo limite è facilmente risolvibile con De L'Hopital, Taylor e con i limiti notevoli (anche se la risoluzione con quest'ultima opzione non è universalmente riconosciuta come accettabile per varie motivazioni, tra cui il fatto che bisogna supporre che il limite esista e che sia finito).