Limite con esponenziale e fattoriale
Vi propongo questo limite che sono riuscito a risolvere ma il mio libro di testo dà un'altro risultato.
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n^n)^(n!)$
Io ho proseguito in questo modo:
$\lim_{n \to \infty}[(1+1/n^n)^(n^n)]^((n!)/n^n)$
Il contenuto della parentesi quadra tende ad e quindi il tutto tende ad $e^((n!)/n^n)$.
L'esponente $(n!)/n^n$ tende a 0 in quanto
$0<(n!)/n^n<1/n$ quindi tende a 0 per la proprietà dei carabinieri. A questo punto il limite risultante dovrebbe essere e^0 quindi 1. Il mio libro dice che il limite è 0 ma non mi spiego il perchè.
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n^n)^(n!)$
Io ho proseguito in questo modo:
$\lim_{n \to \infty}[(1+1/n^n)^(n^n)]^((n!)/n^n)$
Il contenuto della parentesi quadra tende ad e quindi il tutto tende ad $e^((n!)/n^n)$.
L'esponente $(n!)/n^n$ tende a 0 in quanto
$0<(n!)/n^n<1/n$ quindi tende a 0 per la proprietà dei carabinieri. A questo punto il limite risultante dovrebbe essere e^0 quindi 1. Il mio libro dice che il limite è 0 ma non mi spiego il perchè.
Risposte
Volendo potevi utilizzare la relazione di Stirling:
$\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}=\lim_(n->\infty)\frac{n^n\sqrt(2\pin)e^(-n)}{n^n}=\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$
Per cui effettivamente ottieni 1.
$\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}=\lim_(n->\infty)\frac{n^n\sqrt(2\pin)e^(-n)}{n^n}=\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$
Per cui effettivamente ottieni 1.
"kkkcristo":
Vi propongo questo limite che sono riuscito a risolvere ma il mio libro di testo dà un'altro risultato.
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n^n)^(n!)$
Io ho proseguito in questo modo:
$\lim_{n \to \infty}[(1+1/n^n)^(n^n)]^((n!)/n^n)$
Il contenuto della parentesi quadra tende ad e quindi il tutto tende ad $e^((n!)/n^n)$.
L'esponente $(n!)/n^n$ tende a 0 in quanto
$0<(n!)/n^n<1/n$ quindi tende a 0 per la proprietà dei carabinieri. A questo punto il limite risultante dovrebbe essere e^0 quindi 1. Il mio libro dice che il limite è 0 ma non mi spiego il perchè.
Giusto, non ci avevo pensato, solitamente la uso ma ho fatto una 20ina di esercizi in cui si sfruttava il limite notevole $(1+1/n)^(n)$ e mi ero un pò cristallizzato su quel metodo.
Anche secondo me è giusto il tuo risultato e non quello del libro: come trucco un po' da "fisici o ingegneri " basta prendere quella formula e farci schiaffare come valore al posto di n un numero abbastanza grosso ad esempio 30 al calcolatore e come risultato ti dà 1... 
"antani":
Anche secondo me è giusto il tuo risultato e non quello del libro: come trucco un po' da "fisici o ingegneri " basta prendere quella formula e farci schiaffare come valore al posto di n un numero abbastanza grosso ad esempio 30 al calcolatore e come risultato ti dà 1...
Lo facevo alle superiori, ma sul compito dell'università deve esserci il procedimento quindi devo conoscere tutti i trucchetti. Comunque mi consola sapere che non ero l'unico che 'imbrogliava'
Poi comunque $30!$ è abbastanza grande come numero, non so se il mio calcolatore ce la fa... Lo stesso vale per $30^30$.
sì sì...te li da scritti in forma esponenziale...esempio il mio computer sul terminale mi stampa tipo per 10 alla 23
"K.Lomax":
Volendo potevi utilizzare la relazione di Stirling:
$\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}=\lim_(n->\infty)\frac{n^n\sqrt(2\pin)e^(-n)}{n^n}=\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$
Per cui effettivamente ottieni 1.
Scusate ragazzi se riprendo questo post ma è proprio quello che cercavo...allora dalla discussione mi sono rimasti 2 dubbi:
1)Perchè $\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$?a me risulta $\infty 0$ quindi non è una forma indeterminata?
2)Anch'io uso spesso la relazione di stirling ma se ci sono scorciatoie sarebbe più facile...ad esempio $\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}$ ho sentito da qualche mio compagno di corso che siccome la potenza "va più veloce" all'infinito che il fattoriale allora questa frazione è sempre 0,
qualsiasi coefficenti dai alla n, anche se fosse $\lim_(n->\infty)\frac{100n!}{n^n}$.Vero?
"matteomors":
[quote="K.Lomax"]Volendo potevi utilizzare la relazione di Stirling:
$\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}=\lim_(n->\infty)\frac{n^n\sqrt(2\pin)e^(-n)}{n^n}=\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$
Per cui effettivamente ottieni 1.
Scusate ragazzi se riprendo questo post ma è proprio quello che cercavo...allora dalla discussione mi sono rimasti 2 dubbi:
1)Perchè $\lim_(n->\infty)\sqrt(2\pin)e^(-n)=0$?a me risulta $\infty 0$ quindi non è una forma indeterminata?
2)Anch'io uso spesso la relazione di stirling ma se ci sono scorciatoie sarebbe più facile...ad esempio $\lim_(n->\infty)\frac{n!}{n^n}$ ho sentito da qualche mio compagno di corso che siccome la potenza "va più veloce" all'infinito che il fattoriale allora questa frazione è sempre 0,
qualsiasi coefficenti dai alla n, anche se fosse $\lim_(n->\infty)\frac{100n!}{n^n}$.Vero?[/quote]
La prima è abbastanza chiara...ma non so come svolgerla, provo a trasformare la radice in un esponenziale seguendo la forumula $x=e^(lnx)$ ma poi non ci salto fuori lo stesso...è cosi che devo fare?
La seconda suppongo di aver detto un'inesattezza ma vi prego di chiarirmi le idee su questo tipo di divisione che nei compiti si presenta spessissimo...grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo