Limite con esponenziale complesso

[loforte.andrea8]

ciao a tutti, sono nuovo di qui ...spero di non infrangere nessun regolamento

vengo al punto

devo calcolare il seguente limite della successione di funzioni, però in questo momento non voglio discutere cosa succede al variare di n, voglio diciamo, considerarlo un parametro costante diverso da zero


$\lim_(x->0)((e^(-ixn)-1)(e^(-ix(n+1))-1))/x^2$


avevo pensato di scrivere gli esponenziali complessi come seno e coseno e poi svilupparli con taylor fino al 2° ordine di derivazione,
il limite così dovrebbe venire finito, il procedimento è unpò lungo,

che ne dite? è corretto procedere così?? o magari c'è una via più breve...

grazie

[ciampax]

Corretto, e sinceramente non vedo vie più brevi. Spero solo che tu usi il fatto che $e^{-inx}=\cos(nx)-i\sin(nx)$...

[andreabs85]

Io invece proverei a spezzare il denominatore in $x*x$ e la frazione quindi diventa

$\lim_(x->0)((\frac{(e^(-ixn)-1)}{x})( \frac{e^(-ix(n+1))-1}{x}))$

Da lì moltiplichi sopra e sotto il primo membro per $-i*n$ ed il secondo membro per $-i(n+1)$. In questo modo ti riconduci alla forma notevole, che se vuoi vedi bene chiamando $t=-ixn$ e $s=-ix(n+1)$, con $t$ ed $s$ che tendono a zero in quanto $x$ tende a zero. Così avresti:

$(-i n*(-i(n+1)))*(\lim_(t->0)(\frac{e^t-1}{t}))*(\lim_(s->0)(\frac{e^s-1}{s})) = i^2*n(n+1) =-n(n+1)$

Fammi sapere se il risultato torna

[loforte.andrea8]

si direi che l'idea di ricondursi al limite notevole è ottima, non mi ricordavo che era un limite notevole ;
grazie

[andreabs85]

Ok, quindi mi confermi che il risultato è corretto? Bè, direi che questo è di certo il modo migliore per svolgerlo allora, perchè ti risparmi sia la sostituzione che gli sviluppi