Limite con esponenziale
$lim_(x->+oo) xe^{(1-x)/(2-x)} - ex$
Vorrei capire come si fa...
Vorrei capire come si fa...
Risposte
scrivilo così:
$ lim_(x -> +infty)ex[e^(((1-x)/(2-x)-1))-1] $
$ lim_(x -> +infty)ex[e^(((1-x)/(2-x)-1))-1] $
"quantunquemente":
scrivilo così:
$ lim_(x -> +infty)ex[e^(((1-x)/(2-x)-1))-1] $
Così scritto non verrebbe $+oo$?
Pensa ai limiti notevoli che coinvolgono un esponenziale e dopo guarda se riesci a vederne uno nel tuo limite.
Magari ci riuscissi! 
per $z rarr 0$,$e^z-1$ è asintotico a $z$
aiutino: $ e^((1-x)/(2-x)-1) = e^((-1)/(2-x)) ~ e^(1/x)$
Poi guarda qua ed applica il limite notevole opportuno
ovvero quello indicato da quantunquemente 
Poi guarda qua ed applica il limite notevole opportuno
ovvero quello indicato da quantunquemente
"quantunquemente":
per $z rarr 0$,$e^z-1$ è asintotico a $z$
Mai capito i concetti di funzioni asintotiche....o simili. So soltanto che asintotico non implica equivalente ma il viceversa sì.
"poll89":
aiutino: $ e^((1-x)/(2-x)-1) = e^((-1)/(2-x)) ~ e^(1/x)$
Poi guarda qua ed applica il limite notevole opportuno
L'aiutino mi è piaciuto alquanto
Se:
$e^((-1)/(2-x)) ~ e^(1/x) => e^(1/x) ~ 1+1/x+o(1 ) if x->+oo$
$=>lim_(x->+oo) ex (1+1/x-1+o(1)) = e$
Giusto?
Continuo a non trovare su **** (dove avevo già cercato
) il limite proposto da quantunquemente 
ah beh, se sei più contento con gli opiccoli tanto meglio, quel che si fa con l'asintoticità si fa anche sviluppando in serie di Taylor al primo ordine. Comunque, il limite che dice quantunquemente è scritto così nella tabella: $(e^x -1)/x ->1 text( se ) x->0$. Per come la vedo io questa è proprio la definizione dell'asintoticità tra due funzioni. Significa in sostanza che $e^x -1$ si avvicina allo 0 "come" $x$.
Se:
$lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=1$
$=> f(x) ~ g(x)$ per $x->x_0$ e $f(x)$ è detta equivalente a $g(x)$
Effettivamente rispecchia la definizione del confronto locale fatto con i simboli di Landau.
Quindi (come ho scritto su) se due funzioni equivalenti, sono asintotiche.
Ma, continuo a non capire bene il collegamento tra: equivalenza, "asintoticità", trovare asintoti tramite equivalenze. Fino al semplice confronto locale tra due funzioni ci sono.
$lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=1$
$=> f(x) ~ g(x)$ per $x->x_0$ e $f(x)$ è detta equivalente a $g(x)$
Effettivamente rispecchia la definizione del confronto locale fatto con i simboli di Landau.
Quindi (come ho scritto su) se due funzioni equivalenti, sono asintotiche.
Ma, continuo a non capire bene il collegamento tra: equivalenza, "asintoticità", trovare asintoti tramite equivalenze. Fino al semplice confronto locale tra due funzioni ci sono.
Ma fregatene, sono tutte definizioni "all'acqua" (cit.), buone solo per le superiori o al massimo per l'esame di analisi 1. L'unico concetto veramente importante, nelle analisi asintotiche, sono gli O-grandi e gli o-piccoli. Con la pratica ti viene naturale di stimare tutte le quantità in quei termini, e tenendo sempre traccia dell'errore eviti di sbagliare.
guarda, in realtà non dovresti scervellarti su queste definizioni, sono cose da liceali che già con l'esame di analisi 1 si superano abbondantemente. Il modo ben definito di gestire queste situazioni è usare gli Ograndi (per l'infinito) e gli opiccoli (per lo 0), quindi buttati su di loro
Se vuoi puoi vederla così: la nozione di asintoticità nei pressi dello 0 equivale, alla buona, all'avere lo stesso sviluppo di mcLaurin del primo ordine. Non è proprio corretto ma è un modo di capire perchè l'asintoticità è opiccolo degli opiccoli (lol, come sono simpatico), ovvero opiccoli/Ograndi battono asintoticità
Comunque, più che i limiti notevoli, in futuro ti occorreranno gli sviluppi notevoli delle funzioni elementari, che svolgono la stessa funzione ma meglio ed in più casi: tanto per fare un esempio, un classico limite notevole è $sin(x)/x ->_(x->0) 1$, ed infatti hai $sin(x) = x + o(x^2)$, quindi $sin(x)/x = x/x + o(x^2) = 1 + o(x^2) ->_(x->0) 1$. Ma continuando lo sviluppo di $sin(x)$ puoi gestire molte altre situazioni che non con la sola asintoticità.
[edit]
non mi ero accorto che dissonance avesse già detto ciò che affermo io nella prima parte. Comunque ormai ho scritto e non cancello. Che cacchio! E poi repetita iuvant.
Se vuoi puoi vederla così: la nozione di asintoticità nei pressi dello 0 equivale, alla buona, all'avere lo stesso sviluppo di mcLaurin del primo ordine. Non è proprio corretto ma è un modo di capire perchè l'asintoticità è opiccolo degli opiccoli (lol, come sono simpatico), ovvero opiccoli/Ograndi battono asintoticità
Comunque, più che i limiti notevoli, in futuro ti occorreranno gli sviluppi notevoli delle funzioni elementari, che svolgono la stessa funzione ma meglio ed in più casi: tanto per fare un esempio, un classico limite notevole è $sin(x)/x ->_(x->0) 1$, ed infatti hai $sin(x) = x + o(x^2)$, quindi $sin(x)/x = x/x + o(x^2) = 1 + o(x^2) ->_(x->0) 1$. Ma continuando lo sviluppo di $sin(x)$ puoi gestire molte altre situazioni che non con la sola asintoticità.
[edit]
non mi ero accorto che dissonance avesse già detto ciò che affermo io nella prima parte. Comunque ormai ho scritto e non cancello. Che cacchio!
E poi repetita iuvant.
Sono sostanzialmente d'accordo con l'intervento di poll tranne che
Perché dici questo? Se ti va spiegati un po' meglio.
"poll89":
Ograndi (per l'infinito) e gli opiccoli (per lo 0)
Perché dici questo? Se ti va spiegati un po' meglio.
Eh già, detta così sembra che gli O-grandi si usino solo in intorni dell'infinito e gli o-piccoli solo in intorni dello 0. La corazzata Potemkin di Fantozzi, insomma.
In realtà sarebbe meglio ignorare quella frase, dato che è una mia abitudine e davvero non so se vi sia una regola al riguardo. Non ho mai del tutto capito l'utilità di O-grande a fronte della presenza di o-piccolo, dato che entrambi dicono "f è O-grande (risp. o-piccolo) di g se f è maggiorata da g*una costante", ma o-piccolo aggiunge "questa costante può essere arbitrariamente piccola". Quindi presi l'abitudine di usare gli O-grandi quando il limite poneva forme di indeterminazione $infty/infty$ e gli o-piccoli per $0/0$, dato che nella mia testa O-grande riguardava "l'andare ad infinito più lentamente di" mentre l'opiccolo riguardava "l'andare a zero più velocemente di".
In realtà sarebbe meglio ignorare quella frase, dato che è una mia abitudine e davvero non so se vi sia una regola al riguardo. Non ho mai del tutto capito l'utilità di O-grande a fronte della presenza di o-piccolo, dato che entrambi dicono "f è O-grande (risp. o-piccolo) di g se f è maggiorata da g*una costante", ma o-piccolo aggiunge "questa costante può essere arbitrariamente piccola". Quindi presi l'abitudine di usare gli O-grandi quando il limite poneva forme di indeterminazione $infty/infty$ e gli o-piccoli per $0/0$, dato che nella mia testa O-grande riguardava "l'andare ad infinito più lentamente di" mentre l'opiccolo riguardava "l'andare a zero più velocemente di".
Ci tenevo a ringraziare @poll89 per l' "aiutino" datomi qualche post.
Mi hai portato fortuna e all'esame ho trovato una cosa del genere durante lo studio di una funzione e per il calcolo dell'asintoto obliquo, ricordandomi dell'aiutino
, ho utilizzato l'equivalenza:
$arctan(1/(1+x)) $ $~$ $1/x + o(1/x) if x->+oo$
Grazie.
Mi hai portato fortuna e all'esame ho trovato una cosa del genere durante lo studio di una funzione e per il calcolo dell'asintoto obliquo, ricordandomi dell'aiutino
, ho utilizzato l'equivalenza:$arctan(1/(1+x)) $ $~$ $1/x + o(1/x) if x->+oo$
Grazie.
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