Limite con e

[fabiuz_29]

ciao a tutti

c'è un limite che mi ha totalmente esaurito, però dev'esserci una maledetta soluzione

$ lim_(x -> 0) ((1+x)^(1/x)-e)/x $

allora, okey che al numeratore viene zero , $ (1+x)^(1/x) $ è la definizione di $ e $ per $ x -> 0 $

hopital - in sé non mi convince usarlo, però ho provato e niente (mi viene zero se non ho sbagliato la derivata di $ (1+x)^(1/x) $ )
passare all' esponenziale nulla

o sbaglio nel calcolare la derivata (e quindi è giusto il procedimento di hopital) oppure c'è una altra via che mi sfugge e quindi ho una lacuna in qualche parte teorica, sapere quale me la ripasso!!

il fatto è che il risultato é $ - e/2 $

cioé, se non erro, che $ (1+x)^(1/x)-e -> x*(-e/2) $ , che se x tende a zero, il tutto tende a zero, da cui la definizione di e (credo e spero)

ringrazio già chi può aiutarmi, e buon 2015.

[ostrogoto1]

Servono gli sviluppi in serie di Taylor. In particolare ho sviluppato al secondo ordine il logaritmo che compare per evitare di trovarmi 0 al numeratore. (come accade usando i limiti notevoli...)

$ ((1+x)^(1/x)-e)/x=(e^(1/xln(1+x))-e)/x=(e^(1/x(x-x^2/2+o(x^2)))-e)/x=(e^(1-x/2+o(x))-e)/x=e(e^(-x/2+o(x))-1)/x=e(1-x/2+o(x)-1)/x=-e/2 $

per $ xrarr0 $

[fabiuz_29]

Grazie $ oo $