Limite con de l'Hospital

[Raijin1]

Ciao, avrei bisogno un aiutino su questo limite

$\lim_{x \to \0+}x^2ln(x+x^2)$

risolvendo viene uno $0 infty$

allora porto $x^2$ a denominatore, $\lim_{x \to \0+}ln(x+x^2)/(1/(x^2))$

e ottengo così una forma indeterminata infinito su infinito, così da applicare de l'hospital, poi derivo numeratore e denominatore e ottengo:


$\lim_{x \to \0+}((2x)/(x+x^2))/(-2x^-3)$

ma in questo modo ottengo ancora una forma indeterminata, questa volta 0 su 0, se derivo ancora una volta

$\lim_{x \to \0+}((-2x^2)/(x+x^2)^2)/(+6x^-4)$

ma ancora una volta non viene, dove sbaglio?

[theras]

Prova a scrivere il secondo fattore della funzione che hai inizialmente passato al limite con la regola del prodotto di due logaritmi(è legittimo,in un intorno destro di $0$..),
e poi facci sapere se hai ancora problemi:
saluti dal web.

[Raijin1]

"theras":Prova a scrivere il secondo fattore della funzione che hai inizialmente passato al limite con la regola del prodotto di due logaritmi(è legittimo,in un intorno destro di $0$..),
e poi facci sapere se hai ancora problemi:
saluti dal web.

quindi scrivere
$\lim_{x \to \0+}(lnx * ln(x^2))/(1/(x^2))$

[Noisemaker]

"Raijin":Ciao, avrei bisogno un aiutino su questo limite

$\lim_{x \to \0+}x^2ln(x+x^2)$

risolvendo viene uno $0 infty$

allora porto $x^2$ a denominatore, $\lim_{x \to \0+}lnx/(1/(x^2))$

e ottengo così una forma indeterminata infinito su infinito, così da applicare de l'hospital, poi derivo numeratore e denominatore e ottengo:


$\lim_{x \to 0^+}((2x)/(x+x^2))/(-2x^-3)$

ma in questo modo ottengo ancora una forma indeterminata, questa volta 0 su 0, se derivo ancora una volta

$\lim_{x \to \0+}((-2x^2)/(x+x^2)^2)/(+6x^-4)$

ma ancora una volta non viene, dove sbaglio?

oppure,

\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+}x^2\ln(x+x^2)=\lim_{x \to 0^+}x^2\ln\left[x(1+x )\right]= .... .....
\end{align*}

[Palliit]

Ciao. Mi pare che qua:

"Raijin":$\lim_{x \to \0+}ln(x+x^2)/(1/(x^2))$.... poi derivo numeratore e denominatore e ottengo:

$\lim_{x \to \0+}((2x)/(x+x^2))/(-2x^-3)$

ci sia un errore, la derivata del numeratore è $(1+2x)/(x+x^2)$. Poi, arrivati a questo punto secondo me ti conviene rimettere

tutto a posto (nella fattispecie riportare l' $x^(-3)$ sopra la linea di frazione come $x^3$), quindi semplificare e verificare, prima di riapplicare De L'Hopital, se l'indeterminazione è rimossa. Fermo restando che il consiglio di theras di "spezzare" in due la funzione iniziale pare ottimo anche a me.

[Raijin1]

derivata errata vero

ora ho provato così:

$\lim_{x \to \0+}((1+2x)/(x+x^2))/(-2x^-3)$
poi riporto sopra $x^3$ come consigliato e:

$\lim_{x \to \0+}((1+2x)/(x+x^2)(x^3)(-1/2))$

raccogliendo la x a numeratore e denominatore della frazione, arrivo ad avere:

$\lim_{x \to \0+}((-1/2)((x^2(1+2x))/(1+x))$

sostituendo arrivo ad avere $0$ come risultato, corretto?

[Palliit]

Corretto
E visti i coefficienti puoi anche stabilire se è un limite per eccesso o per difetto.