Limite con De L'hopital.

[Danying]

Salve;

Desideravo una delucidazione teorica su un limite non molto difficile;

$lim_(x->0)(x-tgx)/(1-cosx);$ La forma $0/0$ ci permette di servirci dell'ausilio del noto teorema da cui prende nome il Topic.

Quindi $[1-(1)/(cos^2x)]/[senx]$ con quale criterio si procede ? i passaggi successivi sono $lim_(x->0)[-(sen^2x)/(cos^2x)]/[senx] = -(senx)/(cos^2x)=0;$

non mi interessa i risultato che è $0$.... ma prendere praticità a svolgere questi limiti; più che altro il criterio di approccio... "trucchetti ecc"

ad esempio come mai ci riduciamo a $(tg^2x)/(senx)$ ?

[*v.tondi]

Ti ricordi le identità trigonometriche? Fai il $m.c.m.$, semplifica il denominatore e ottieni il tuo risultato. Se il limite continua a presentarsi nella forma $0/0$ puoi derivare ancora numeratore e denominatore. Chiaro?
Ciao.

[indovina]

Io ti consiglierei (come trucchetto), in un solo passaggio, senza ricordare le derivazioni (che a volte puoi confonderle), quello di usare le serie di Taylor.

In un intorno di $0$:

$x-tg(x)=(-1/3)*x^3$

$1-cosx=(x^2)/2$

semplifichi $x^2$ e ti viene $0$

[dissonance]

"clever":$x-tg(x)=(-1/3)*x^3$

$1-cosx=(x^2)/2$

Non dire fesserie, clever.
Se fosse vero quello che hai scritto, $tan$ e $cos$ sarebbero polinomi. Sarebbe facile l'analisi, così! Non puoi trascurare il resto, negli svilluppi di Taylor.

[Danying]

"v.tondi":Ti ricordi le identità trigonometriche? Fai il $m.c.m.$, semplifica il denominatore e ootieni il tuo risultato. Se il limite continua a presentarsi nella forma $0/0$ puoi derivare ancora numeratore e denominatore. Chiaro?
Ciao.

si le più imporanti;

ma da $1- (1)/(cos^2x)$ non so con quale identità si è arrivato a $tg^2x$

[K.Lomax]

[tex]1-\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x-1}{\cos^2x}=\frac{-\sin^2x}{\cos^2x}=-\tan^2x[/tex]

dove nel penultimo passaggio si è utilizzata l'identità [tex]\cos^2x+\sin^2x=1[/tex]

[Iris26]

Secondo me è più comodo utilizzare, per la tangente, l'altra forma della derivata, che è $ 1+tg^2x $ così al numeratore ottieni direttamente $ (-tg^2x)/(senx) $ , che è $ -cosx $ .

[Danying]

"K.Lomax":[tex]1-\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x-1}{\cos^2x}=\frac{-\sin^2x}{\cos^2x}=-\tan^2x[/tex]

dove nel penultimo passaggio si è utilizzata l'identità [tex]\cos^2x+\sin^2x=1[/tex]

ma [tex]\cos^2x+\sin^2x=1[/tex] dov'è ?

[Gi81]

intendeva dire che $(cos^2x-1)/(cos^2x)=(-sin^2x)/(cos^2x)$ è vera perchè $cos^2x+sin^2x=1$, cioè $cos^2x-1=-sin^2x$, ok?

[Danying]

"Gi8":intendeva dire che $(cos^2x-1)/(cos^2x)=(-sin^2x)/(cos^2x)$ è vera perchè $cos^2x+sin^2x=1$, cioè $cos^2x-1=-sin^2x$, ok?

OK!!
ci si deve fare l'abitudine a queste identità,



thankx.

[indovina]

"dissonance":[quote="clever"]$x-tg(x)=(-1/3)*x^3$

$1-cosx=(x^2)/2$

Non dire fesserie, clever.
Se fosse vero quello che hai scritto, $tan$ e $cos$ sarebbero polinomi. Sarebbe facile l'analisi, così! Non puoi trascurare il resto, negli svilluppi di Taylor.[/quote]

Eh, ti riferisci alla teoria degli $o$ piccoli, altrimenti quelle relazioni non hanno senso, giusto?

[dissonance]

Gli o piccoli o una qualsiasi formulazione del resto, ce ne sono tante: il resto secondo Lagrange, il resto integrale... Puoi anche scrivere genericamente un $R_n(x)$, basta che non lasci il segno di uguaglianza dove uguaglianza non c'è.

[indovina]

Solito mio errore di approssimare le cose.