Limite con criterio del rapporto
Ciao a tutti!!
Devo fare questo esercizio ma sono bloccata ad un certo punto:
Usando il criterio del rapporto, calcolare il limite della successione: $a_n = 2^(n^2)/(4^n+1)$
Allora ho fatto: $lim_(x->oo) (a_(n+1)/a_n) = lim_(x->oo) (2^((n+1)^2)/(4^(n+1)+1))*((4^n+1)/(2^(n^2)))$
e ho svolto l'esponente del 2 insomma, ottenendo: $(2^(n^2))(2^(2n))(2)$, giusto? e il $(2^(n^2))$ l'ho semplificato con quello a denominatore...e mi rimane:
$lim_(x->oo) (((2^(2n))*(2))/(4^(n+1)+1))*(4^n+1)$
e mi sono bloccata....
grazie a tutti per l'attenzione..!!
Devo fare questo esercizio ma sono bloccata ad un certo punto:
Usando il criterio del rapporto, calcolare il limite della successione: $a_n = 2^(n^2)/(4^n+1)$
Allora ho fatto: $lim_(x->oo) (a_(n+1)/a_n) = lim_(x->oo) (2^((n+1)^2)/(4^(n+1)+1))*((4^n+1)/(2^(n^2)))$
e ho svolto l'esponente del 2 insomma, ottenendo: $(2^(n^2))(2^(2n))(2)$, giusto? e il $(2^(n^2))$ l'ho semplificato con quello a denominatore...e mi rimane:
$lim_(x->oo) (((2^(2n))*(2))/(4^(n+1)+1))*(4^n+1)$
e mi sono bloccata....
grazie a tutti per l'attenzione..!!
Risposte
$4^{n+1}+1=4^n\cdot4 +1 $
"Quinzio":
$4^{n+1}+1=4^n\cdot4 +1 $
Ok..fin lì c'ero arrivata anche io...ma nn so come far fruttare questa cosa....
A numeratore puoi scrivere $2^(2n)$ come $4^n$... Alla fine dividi "sopra e sotto" per $4^n$.
"Seneca":
A numeratore puoi scrivere $2^(2n)$ come $4^n$... Alla fine dividi "sopra e sotto" per $4^n$.
ah..ecco cosa mi sfuggiva!! grazieeee!!
ma...ho comunque una somma..cioè al $4^n$ è sommato $+1$ e se raccolgo $4^n$ avrei $1+1/4^n$
o meglio..avrei $4+1/4^n$
Perchè ora mi trovo il limite di: $(((2)*(4^n))/((4)*(4^n)+1))*(4^n+1)$
E' che ho provato anche a "separare numeratore e denominatore" ma non mi è stato utile a niente...
"Sweet_Fra":
[quote="Seneca"]A numeratore puoi scrivere $2^(2n)$ come $4^n$... Alla fine dividi "sopra e sotto" per $4^n$.
ah..ecco cosa mi sfuggiva!! grazieeee!!
ma...ho comunque una somma..cioè al $4^n$ è sommato $+1$ e se raccolgo $4^n$ avrei $1+1/4^n$
o meglio..avrei $4+1/4^n$
Perchè ora mi trovo il limite di: $(((2)*(4^n))/((4)*(4^n)+1))*(4^n+1)$[/quote]
In tutti i "punti" dove compare $4^n$ devi raccoglierlo.
Es:
$\lim_{x \to +oo} (4^n+1)/(3*4^n+2) = \lim_{x \to +oo} (4^n(1+1/(4^n)))/(4^n(3+2/(4^n))) = \lim_{x \to +oo} ((1+1/(4^n)))/((3+2/(4^n))) = \lim_{x \to +oo} 1/3 = 1/3$
"Quinzio":
In tutti i "punti" dove compare $4^n$ devi raccoglierlo.
Ah, giusto, prefetto!!
Quindi avrei:
$lim_(x->+oo) (((2)*(4^n))/((4^n)*(4+1/4^n))*(4^n*(1+1/4^n))) =$ $lim_(x->+oo) (((2)*(4^n))/((4+1/4^n))*(1+1/4^n)) =$ $lim_(x->+oo) (((2)*(4^n))/(4)) =$ $lim_(x->+oo) ((4^n)/(2)) = +oo$
Giusto?
Grazie mille ancora!!
Giusto!
"Quinzio":
Giusto!
Grazie mille! Gentilissimo!!
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