Limite con binomiale e fattoriale

[ale.b14]

Sia $a_n:=((2n),(n))/(n!)$. Calcolare il limite della successione $a_n$.

[gugo82]

Idee tue?

[ale.b14]

si, hai ragione... allora, io ho cercato di ragionare così:
$((2n),(n))/(n!)=\frac{2n}{n^2}\frac{2n-1}{(n-1)^2}...\frac{n+1}{1^2}$
ma se passo al limite ora ottengo una forma indeterminata. ho anche provato a passare al logaritmo e studiare di conseguenza
$lim_{n->infty}\sum_{i=1}^{n}[log(n+i)-2log(i)]$
Siccome credo che il limite originario faccia $0$, vorrei mostrare che questa "serie" diverge a $-infty$. credo che il secondo metodo sia un incasinamento inutile, comunque...

P.S.: non vorrei utilizzare la formula di stirling...

[gugo82]

Beh, hai:
\[
\begin{split}
\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}\ \frac{n!}{(n+1)!} \\
&= \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^3}\ \frac{(n!)^3}{(2n)!}\ \frac{1}{n+1}\\
&= \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^4}
\end{split}
\]
quindi \(a_{n+1}/a_n\to 0\)... Traine la dovuta conclusione.

[ale.b14]

quindi $a_n$ è il termine $n$-esimo di una serie convergente, pertanto la successione è infinitesima.
grazie!

[gugo82]

"ale.b":quindi $a_n$ è il termine $n$-esimo di una serie convergente, pertanto la successione è infinitesima.
grazie!

Sì, vabbé... Ma così è un po' troppo.

Semplicemente, per definizione di limite, scelto \(\varepsilon =1/2\) da un certo indice \(\nu\) in poi hai \(a_{n+1}<\frac{1}{2}\ a_n\) e dunque, per induzione, ottieni pure:
\[
a_{n+1}< \frac{1}{2^n}\ \frac{a_\nu}{2^{1-\nu}}
\]
il che implica \(a_n\to 0\).