Limite con arcseno

[eccelsius]

Salve, ho incontrato questo limite che mi sta facendo impazzire. Non riesco proprio a trovare un modo per risolverlo. Vi chiedo disperato aiuto:

[size=150]$\lim_{x \to \0+} (1/x^2 - 1/arcsin^2(x))$[/size]

Grazie in anticipo

[Cesare34556]

Allora i primi termini dello sviluppo in serie di Taylor centrato in zero di $arcsin^2(x)$ sono $x^2 + \frac{x^4}{3}$ con il resto $o(x^4)$.
Sostituendo ottieni:

$lim_(x -> 0^+) (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+\frac{x^4}{3} + o(x^4)})$ che puoi scrivere come:

$lim_(x -> 0^+)(\frac{ \frac{x^2}{3}}{x^2(1+\frac{x^2}{3})))$ semplificando $x^2$ ottieni $\frac{1}{3}$

ps: spero la mancata discussione di $o(x^4)$ non sia un problema

[eccelsius]

Ti ringrazio per la risposta ma purtroppo la nostra professoressa ha solo accennato alla formula di taylor. Sapresti indicarmi una risoluzione usando limiti notevoli e de l'hopital?

[Cesare34556]

Ora come ora non mi viene in mente nulla, de l'hopital non mi sembra certo la via perchè una volta portato in forma adeguata derivando viene una cosa che di certo non semplifica.. forse qualche relazione trigonometrica può essere d'aiuto ma Taylor a volte è l'unico modo per risolvere i limiti e questo sembra uno di quelli ma posso benissimo sbagliare! Hai trovato questo esercizio sul tuo libro di testo (da liceo suppongo) ?

[eccelsius]

il limite è tratto da una prova d'esame di analisi 1. La traccia chiedeva di capire se esistesse il limite ed eventualmente calcolarlo

[francicko]

Se si può calcolare con taylor sicuramente si può calcolare con Hopital, basta riportarlo nella forma $0/0$, solo che i calcoli diventano più tediosi, prova a scriverlo nella forma $lim_(x->0)((arcsinx)^2-x^2)/(x^2 (arcsinx)^2) $ $=lim_(x->0)((arcsinx)^2-x^2)/x^4$, essendo a denominatore $x^2 ×(arcsinx)^2~(x^2×x^2)=x^4$, in quanto dal limite notevole $ lim_(x->0)arcsinx/x=1$, si ricava $arcsinx~x $, a questo punto hai la forma indeterminata $0/0$, e le condizioni per applicare Hopital, prova a svolgere i calcoli correttamente ed dovresti ottenere il valore del limite $1/3$;
Comunque la via che ti e' stata indicata con taylor resta la piu' immediata e sicura , al fine di evitare errori di calcolo.