Limite con annesso integrale che non riesco a risolvere...
Il problema è il seguente (era in un compito di analisi 1 dell'anno scorso):
$lim_(n to +\infty) n* \int_{-1/n}^{1/n} log(cos(x)) dx $
Avevo pensato di risolvere prima di tutto l'integrale indefinito ma quell'integrale proprio non riesco a farlo.
Non è che c'è una via per risolvere il limite senza risolvere prima l'integrale indefinito?
Grazie anticipatamente.
$lim_(n to +\infty) n* \int_{-1/n}^{1/n} log(cos(x)) dx $
Avevo pensato di risolvere prima di tutto l'integrale indefinito ma quell'integrale proprio non riesco a farlo.
Non è che c'è una via per risolvere il limite senza risolvere prima l'integrale indefinito?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Troppo bellino l'esercizio 
Studiamo un attimo la funzione
[tex]f(x)=\log(\cos(x))[/tex] in [tex][-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]\quad n\in\mathbb{N}\setminus{\left\{0\right\}}[/tex], che possiamo dire? (inviterei quelli che stanno preparando analisi 1 ad intervenire
)
Studiamo un attimo la funzione
[tex]f(x)=\log(\cos(x))[/tex] in [tex][-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]\quad n\in\mathbb{N}\setminus{\left\{0\right\}}[/tex], che possiamo dire? (inviterei quelli che stanno preparando analisi 1 ad intervenire
)
bè non vorrei dire una scemata ma in quellì intervallo, il coseno diventa una infinitesimo sostituibile con Taylor, ottenendo: $f(x) = log(1 - x^2/2)$
"andra_zx":
bè non vorrei dire una scemata ma in quellì intervallo, il coseno diventa una infinitesimo sostituibile con Taylor, ottenendo: $f(x) = log(1 - x^2/2)$
Se è così, allora, si può fare di meglio: o con Taylor oppure con gli infinitesimi equivalenti: per $x to 0$ si ha $log(1 - x^2/2) sim -x^2/2 $
O no?
Io avevo in mente un altro metodo a dire il vero... 'sti giovani d'oggi sono troppo svegli
Il coseno è una funzione pari
Dunque, vediamo un attimo di ricapitolare.
Applicando gli infinitesimi equivalenti, andiamo a finire così: l'integrale diventa $-1/2int_(-1/n)^(1/n)x^2dx$.
Svolgendo tutti conti si trova che il problema di partenza è $lim_(n to +oo) nint_(-1/n)^(1/n)log(cosx)dx=lim_(n to +oo)-1/(3n^2)=0$ (che poi è ciò che diceva @melia, visto che il coseno è pari).
Il risultato è comunque coerente con un altro metodo che ho trovato, che però non so se è giusto: in breve, facciamo rivivere ancora una volta il buon marchese.
Prima di tutto, scarico il problema sul continuo (cioè anzichè la variabile discreta $n$ ne considero una continua, $t$): questo passaggio credo sia lecito per un teorema che pochi giorni fa ha postato Seneca (cfr qui). Quindi riscrivo il limite come
$lim_(t to +oo) (int_(-1/t)^(1/t)log(cosx)dx)/(1/t)$.
Forma indeterminata 0/0. Spezzo l'integrale in due o sfrutto la parità della funzione integranda; derivo numeratore e denominatore, ricordando il TFC.
E viene di nuovo $0$.
Ok anche questo?
Applicando gli infinitesimi equivalenti, andiamo a finire così: l'integrale diventa $-1/2int_(-1/n)^(1/n)x^2dx$.
Svolgendo tutti conti si trova che il problema di partenza è $lim_(n to +oo) nint_(-1/n)^(1/n)log(cosx)dx=lim_(n to +oo)-1/(3n^2)=0$ (che poi è ciò che diceva @melia, visto che il coseno è pari).
Il risultato è comunque coerente con un altro metodo che ho trovato, che però non so se è giusto: in breve, facciamo rivivere ancora una volta il buon marchese.
Prima di tutto, scarico il problema sul continuo (cioè anzichè la variabile discreta $n$ ne considero una continua, $t$): questo passaggio credo sia lecito per un teorema che pochi giorni fa ha postato Seneca (cfr qui). Quindi riscrivo il limite come
$lim_(t to +oo) (int_(-1/t)^(1/t)log(cosx)dx)/(1/t)$.
Forma indeterminata 0/0. Spezzo l'integrale in due o sfrutto la parità della funzione integranda; derivo numeratore e denominatore, ricordando il TFC.
E viene di nuovo $0$.
Ok anche questo?
Ok, vediamo se trovi un'altra strada
"Mathematico":
Ok, vediamo se trovi un'altra strada
Ancora
?Mmmm, vediamo, anche se temo sia un po' tirata per i capelli.
Parola chiave: media integrale.
L'integranda (che d'ora in poi per comodità chiamo $f(x)$) è continua in $I=[-1/n,1/n]$ e ovviamente ivi integrabile. Allora si può applicare il teorema della media integrale, per cui esiste un punto $y in I$ tale che
$1/(1/n+1/n) int_(-1/n)^(1/n)f(x)dx=f(y)$ cioè $n int_(-1/n)^(1/n)f(x)dx=2f(y)$.
Se facciamo tendere $n to +oo$ abbiamo che la $y$ resta "pizzicata" in mezzo alle due successioni monotone decrescenti (tendenti a zero) $-1/n$ e $1/n$. Per cui $y to 0$: ma allora $log(cosy) =log(cos0)=0$ ancora una volta.
Ok anche 'sta volta?
P.S. Grazie per la pazienza.
Perchè tirata per i capelli? A me questa soluzione piace e molto , tra l'altro è stata la seconda opzione che m'è venuta in mente 
. Ci sarebbe un altro modo, (il primo che ho pensato), ma dopo questa soluzione credo sia inutile, visto che è quella che preferisco.
No, grazie a te, sono pochi i ragazzi che "giocano" con la matematica come fai tu!!
, tra l'altro è stata la seconda opzione che m'è venuta in mente . Ci sarebbe un altro modo, (il primo che ho pensato), ma dopo questa soluzione credo sia inutile, visto che è quella che preferisco."Paolo90":
P.S. Grazie per la pazienza.
No, grazie a te, sono pochi i ragazzi che "giocano" con la matematica come fai tu!!
Wow, grazie per le molte risposte
Domandina riguardo al metodo di Paolo col teorema di dell'Hopital...
La derivata dell'integrale definito si fa così?
$D( \int_{-1/n}^{-1/n} \log(\cos(x)) dx ) = \log(\cos(-1/n)) - \log(\cos(1/n))$ è corretto?
Domandina riguardo al metodo di Paolo col teorema di dell'Hopital...
La derivata dell'integrale definito si fa così?
$D( \int_{-1/n}^{-1/n} \log(\cos(x)) dx ) = \log(\cos(-1/n)) - \log(\cos(1/n))$ è corretto?
"Mathematico":
Perchè tirata per i capelli? A me questa soluzione piace e molto
"Tirata per i capelli" era un modo per dire che non ero sicurissimo della soluzione
. Comunque sono d'accordo con te, forse passare dalla media integrale è il metodo più elegante...
"Mathematico":
[quote="Paolo90"]P.S. Grazie per la pazienza.
No, grazie a te, sono pochi i ragazzi che "giocano" con la matematica come fai tu!!
[/quote]Grazie, davvero.
"zonia3000":
La derivata dell'integrale definito si fa così?
$D( \int_{-1/n}^{-1/n} \log(\cos(x)) dx ) = \log(\cos(-1/n)) - \log(\cos(1/n))$ è corretto?
Quando devo derivare una funzione integrale mi piace sempre riportarmi ad un integrale definito tra $0$ o una costante e una $f(x)$ all'estremo superiore, sfruttando l'additività dell'integrale rispetto al cammino di integrazione.
In poche parole si fa così:
$int_(-1/t)^(1/t)ln(cosx)dx=int_(-1/t)^0ln(cosx)dx+int_0^(1/t)ln(cosx)dx=-int_0^(-1/t)ln(cosx)dx+int_0^(1/t)ln(cosx)dx$.
Adesso per derivare questa funzione derivi addendo per addendo: ad esempio, la derivata di $int_0^(-1/t)ln(cosx)dx$ è l'integranda calcolata nell'estremo superiore di integrazione moltiplicata la derivata di tale estremo ($-1/t$): occhio a non perderti questo pezzo, visto che si tratta della derivata di una funzione composta!
E' più chiaro ora?
P.S. Se hai un libro di teoria, trovi questa parte sotto la voce "Funzioni integrali" e teorema fondamentale. Dagli un'occhiata, se vuoi.
Ah ok, non avevo realizzato che si tratta di una composta.
Grazie ancora
Grazie ancora
Prego, figurati.
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