Limite con 2 parametri

[pinkfloydian]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio sui limiti di funzione. Devo trovare $alpha$ e $beta$ in modo che

$lim_(x->oo) e^(-x)f(x)=1$ dove $f(x)=(2alpha-beta)e^(x)+(beta-alpha)e^(2x)$

Grazie in anticipo.

[donald_zeka]

Fai il prodotto tra $e^(-x)$ e $f(x)$ e vedi cosa ti viene fuori.

[@melia]

Il limite a $+oo$ oppure $-oo$?

Per $-oo$
$lim_(x->-oo) e^(-x)((2alpha-beta)e^(x)+(beta-alpha)e^(2x))=lim_(x->-oo) (2alpha-beta)+(beta-alpha)e^(x) $, ma $lim_(x->-oo) e^(x)=0$, quindi il limite diventa $lim_(x->-oo) (2alpha-beta)=1 $ da cui $beta=2alpha -1$

Per $+oo$
$lim_(x->+oo) e^(-x)((2alpha-beta)e^(x)+(beta-alpha)e^(2x))=lim_(x->+oo) (2alpha-beta)+(beta-alpha)e^(x) $, ma
$lim_(x->+oo) e^(x)=+oo$, quindi l'unico modo per ottenere un limite finito è che il coefficiente di $e^x$ sia 0, perciò
$alpha=beta$, il limite diventa $lim_(x->+oo) (2beta-beta)=1 $ e $beta=alpha=1$

Se vogliamo che esistano entrambi i limiti allora $beta=alpha=1$, se basta l'esitenza a $-oo$ allora $beta=2alpha -1$

[fisicarlo]

"@melia":Il limite a $+oo$ oppure $-oo$?

Per $-oo$
$lim_(x->-oo) e^(-x)((2alpha-beta)e^(x)+(beta-alpha)e^(2x))=lim_(x->-oo) (2alpha-beta)+(beta-alpha)e^(x) $, ma $lim_(x->-oo) e^(x)=0$, quindi il limite diventa $lim_(x->-oo) (2alpha-beta)=1 $ da cui $beta=2alpha -1$

Per $+oo$
$lim_(x->+oo) e^(-x)((2alpha-beta)e^(x)+(beta-alpha)e^(2x))=lim_(x->+oo) (2alpha-beta)+(beta-alpha)e^(x) $, ma
$lim_(x->+oo) e^(x)=+oo$, quindi l'unico modo per ottenere un limite finito è che il coefficiente di $e^x$ sia 0, perciò
$alpha=beta$, il limite diventa $lim_(x->+oo) (2beta-beta)=1 $ e $beta=alpha=1$

Se vogliamo che esistano entrambi i limiti allora $beta=alpha=1$, se basta l'esitenza a $-oo$ allora $beta=2alpha -1$

Chi hai inventato la funzione "spoiler", è l'ha battezzata così, è un genio assoluto !!
Gran bella spiegazione comunque...