Limite complicato, suggerimenti per risoluzione veloce
Allora mi sono trovato di fronte un limite particolarmente ostico, quindi vorrei sapere come risolverlo senza impiegare ore, e senza perdermi per strada commettendo errori a bizzeffe
Ecco il limite:
$1/2 * lim_(z->k\pi)(d^2/(d^2*z)((z-k\pi)*cosz/sinz)^3)$
I calcoli vengono lunghi e con quel seno al denomitare ci sono diverse forme indeterminate da risolvere.
Alternativamente, non sembra una strada migliore convertire $sinz = {e^{iz} - e^{-iz}}/{2i}$ e $cosz = {e^{iz} + e^{-iz}}/2$ perchè aumenterebbero i termini e forse è più alto il rischio di sbagliare i segni.
Quali sono dei metodi rapidi anche per confrontare o semplificare gli infinitesimi di questo tipo a parte che con il teorema dell'Hopital ?
Grazie per l'attenzione.
Ecco il limite:
$1/2 * lim_(z->k\pi)(d^2/(d^2*z)((z-k\pi)*cosz/sinz)^3)$
I calcoli vengono lunghi e con quel seno al denomitare ci sono diverse forme indeterminate da risolvere.
Alternativamente, non sembra una strada migliore convertire $sinz = {e^{iz} - e^{-iz}}/{2i}$ e $cosz = {e^{iz} + e^{-iz}}/2$ perchè aumenterebbero i termini e forse è più alto il rischio di sbagliare i segni.
Quali sono dei metodi rapidi anche per confrontare o semplificare gli infinitesimi di questo tipo a parte che con il teorema dell'Hopital ?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Devi calcolare qualche residuo?
Non puoi usare la periodicità di seno e coseno per riportare tutto ad un limite calcolato per $z\to 0$?
E sperare di risolvere con qualche limite notevole o con qualche sviluppo di Laurent noto?
Non puoi usare la periodicità di seno e coseno per riportare tutto ad un limite calcolato per $z\to 0$?
E sperare di risolvere con qualche limite notevole o con qualche sviluppo di Laurent noto?
Usare lo sviluppo in serie di Laurent mi sembra una strada decisamente impervia, per il semplice fatto che lo sviluppo della cotangente è il seguente:
http://upload.wikimedia.org/math/9/5/1/951a260ddfc077c3abfabef9480394a0.png
Che già ha una sua complessità se poi dobbiamo fare pure 3 volte il prodotto di Cauchy di quello sviluppo diventa decisamente complicato,
anzi è curioso che tu me l'abbia proposto.
Sicuramente utilizzando la periodicità di seno e coseno si può eliminare parte della complessità ma non ne altera di molto la performance nella risoluzione.
Infatti, il metodo più compatto per scrivere il limite rimane quello di utilizzare cotangente e cosecante come elementi da portarsi in giro.
Il peggiore è quello di rimanere con $z \to k\pi$
Riscrivendo il limite diventa:
$1/2 * lim_(z->0)(d^2/(d^2*z)(t*cosz/sinz)^3)$
Che rimettendolo in forma di cotangente e derivando...e omettendo al momento la notazione di limite e $1/2$ diviene:
$[3z^2cotg^3z - 3z^3cotg^2z*cosec^2z]^I$
Facendo la seconda derivata e semplificando qualcosina:
$6z*cotg^3z - 18z^2cotg^2z*cosec^2z + 6z^3cotgz*cosec^4z + 6z^3cotgz*cosec^2z$
Che facendo i conti sono una serie di $-\infty+\infty$. Quindi l'unico modo per risolvere è di mettere tutto a fattor comune ed esplicitare tutti i seni e coseni del caso e pregare.
Perchè a denominatore ci si ritrova un bel $sen^5z$ e provando con derivate ripetute non se ne esce più.
L'ho risolto tramite software è il limite completo e quindi il valore del Residuo è -1.
Cmq questo esercizio in un compito di esame avrebbe l'effetto di uno sterminio di massa. O almeno nel mio caso sarebbe stato questo l'effetto.
Mi chiedo a questo punto quale metodo, se ve ne sono altri, si potrebbe utilizzare per bypassare il problema.
http://upload.wikimedia.org/math/9/5/1/951a260ddfc077c3abfabef9480394a0.png
Che già ha una sua complessità se poi dobbiamo fare pure 3 volte il prodotto di Cauchy di quello sviluppo diventa decisamente complicato,
anzi è curioso che tu me l'abbia proposto.
Sicuramente utilizzando la periodicità di seno e coseno si può eliminare parte della complessità ma non ne altera di molto la performance nella risoluzione.
Infatti, il metodo più compatto per scrivere il limite rimane quello di utilizzare cotangente e cosecante come elementi da portarsi in giro.
Il peggiore è quello di rimanere con $z \to k\pi$
Riscrivendo il limite diventa:
$1/2 * lim_(z->0)(d^2/(d^2*z)(t*cosz/sinz)^3)$
Che rimettendolo in forma di cotangente e derivando...e omettendo al momento la notazione di limite e $1/2$ diviene:
$[3z^2cotg^3z - 3z^3cotg^2z*cosec^2z]^I$
Facendo la seconda derivata e semplificando qualcosina:
$6z*cotg^3z - 18z^2cotg^2z*cosec^2z + 6z^3cotgz*cosec^4z + 6z^3cotgz*cosec^2z$
Che facendo i conti sono una serie di $-\infty+\infty$. Quindi l'unico modo per risolvere è di mettere tutto a fattor comune ed esplicitare tutti i seni e coseni del caso e pregare.
Perchè a denominatore ci si ritrova un bel $sen^5z$ e provando con derivate ripetute non se ne esce più.
L'ho risolto tramite software è il limite completo e quindi il valore del Residuo è -1.
Cmq questo esercizio in un compito di esame avrebbe l'effetto di uno sterminio di massa. O almeno nel mio caso sarebbe stato questo l'effetto.
Mi chiedo a questo punto quale metodo, se ve ne sono altri, si potrebbe utilizzare per bypassare il problema.
Insomma, vuoi calcolare il residuo di $cot^3 z$ in $0$.
La cosa è facile anche con l'elevamento a potenza dello sviluppo in serie di Laurent di $cot z$: infatti è un semplice gioco combinatorio trovare per il coefficiente $alpha_(-1)$ della serie di Laurent di $cot^3 z$ in funzione dei coefficienti $a_(-1),a_0,a_1$ della serie di Laurent di $cot z$.
Visto che $cot z=\sum_(n=-1)^(+oo) a_n z^n$, le uniche combinazioni degli indici di potenze di $z$ che danno luogo a $z^(-1)$ prendendo la potenza $(\sum_(n=-1)^(+oo) a_n z^n)^3=cot^3 z$ sono:
$0,0,-1$ con tre combinazioni possibili
$1,-1,-1$ con tre combinazioni possibili
quindi è:
$alpha_(-1)=3a_(-1)a_0^2+3a_(-1)^2a_1$.
Ora, può darsi che non sia proprio così, visto che non calcolo residui da un po'; però mi sembra plausibile.
Controlla.
*** EDIT: C'era un $n$ al posto di un $-1$.
La cosa è facile anche con l'elevamento a potenza dello sviluppo in serie di Laurent di $cot z$: infatti è un semplice gioco combinatorio trovare per il coefficiente $alpha_(-1)$ della serie di Laurent di $cot^3 z$ in funzione dei coefficienti $a_(-1),a_0,a_1$ della serie di Laurent di $cot z$.
Visto che $cot z=\sum_(n=-1)^(+oo) a_n z^n$, le uniche combinazioni degli indici di potenze di $z$ che danno luogo a $z^(-1)$ prendendo la potenza $(\sum_(n=-1)^(+oo) a_n z^n)^3=cot^3 z$ sono:
$0,0,-1$ con tre combinazioni possibili
$1,-1,-1$ con tre combinazioni possibili
quindi è:
$alpha_(-1)=3a_(-1)a_0^2+3a_(-1)^2a_1$.
Ora, può darsi che non sia proprio così, visto che non calcolo residui da un po'; però mi sembra plausibile.
Controlla.
*** EDIT: C'era un $n$ al posto di un $-1$.
Sarà che non sono un matematico esperto soprattutto nel calcolo combinatorio ma non ho capito in toto e decisamente cosa hai fatto a parte le intenzioni.
Tra l'altro come faccio a calcolare a-1, tu hai scritto alla fine che il termine generale è praticamente un numero e non dipende da n o sbaglio.
Perchè anche calcolando a0 a1 a-1 nello sviluppo della cotangente come calcolo a-1 dello sviluppo finale ? Sempre se ho capito.
Tra l'altro come faccio a calcolare a-1, tu hai scritto alla fine che il termine generale è praticamente un numero e non dipende da n o sbaglio.
Perchè anche calcolando a0 a1 a-1 nello sviluppo della cotangente come calcolo a-1 dello sviluppo finale ? Sempre se ho capito.
Siano $cot z=\sum_(n=-1)^(+oo) a_n z^n$, $cot^2 z=\sum_(n=-2)^(+oo) b_n z^n$ e $cot^3 z=\sum_(n=-3)^(+oo) alpha_n z^n$ (infatti $cot^k z$ ha un polo d'ordine $k$ in $0$).
Sviluppando un po' di prodotti secondo Cauchy hai:
$cot^3 z=cot z*cot^2z=(\sum_(h=-1)^(+oo) a_h z^h)*(\sum_(k=-2)^(+oo) b_k z^k) = \sum_(n=-3)^(+oo) (\sum_(h+k=n " con "h>=-1, k>=-2) a_h*b_k) z^n$,
$cot^2 z=cot z*cot z=(\sum_(i=-1)^(+oo) a_i z^i)*(\sum_(j=-1)^(+oo) a_j z^j)=\sum_(k=-2)^(+oo) (\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j) z^k$;
in virtù dell'unicità dello sviluppo di Laurent hai:
$AA k >= -2 , \quad b_k=\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j$
$AA n >=-3, \quad alpha_n=\sum_(h+k=n " con " h>=-1,k>=-2) a_h*b_k$;
sostituendo $b_k$ nell'espressione determinata per $alpha_n$ si trova:
(*) $\quad alpha_n=\sum_(h+k=n " con " h>=-1,k>=-2) a_h*(\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j)=\sum_(h+i+j=n " con "h,i,j>= -1) a_h*a_i*a_j \quad$.
Quindi per formare il coefficiente $alpha_n$ della serie di Laurent di $cot^3 z$ ti serve conoscere in quanti modi puoi scrivere $n$ come somma di tre interi $h,i,j >= -1$.
Per tornare al tuo problema, $-1$ lo puoi scrivere come:
$(-1)+0+0,\quad 0+(-1)+0,\quad 0+0+(-1)\quad$ e $\quad1+(-1)+(-1),\quad (-1)+1+(-1), \quad(-1)+(-1)+1$
quindi la (*) ti dice che:
$alpha_(-1)=a_(-1)a_0a_0+a_0a_(-1)a_0+a_0a_0a_(-1)+a_1a_(-1)a_(-1)+a_(-1)a_1a_(-1)+a_(-1)a_(-1)a_1$
$\quad \quad \quad=3a_(-1)a_0^2+3a_(-1)^2a_1$.
Meglio così?
Sviluppando un po' di prodotti secondo Cauchy hai:
$cot^3 z=cot z*cot^2z=(\sum_(h=-1)^(+oo) a_h z^h)*(\sum_(k=-2)^(+oo) b_k z^k) = \sum_(n=-3)^(+oo) (\sum_(h+k=n " con "h>=-1, k>=-2) a_h*b_k) z^n$,
$cot^2 z=cot z*cot z=(\sum_(i=-1)^(+oo) a_i z^i)*(\sum_(j=-1)^(+oo) a_j z^j)=\sum_(k=-2)^(+oo) (\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j) z^k$;
in virtù dell'unicità dello sviluppo di Laurent hai:
$AA k >= -2 , \quad b_k=\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j$
$AA n >=-3, \quad alpha_n=\sum_(h+k=n " con " h>=-1,k>=-2) a_h*b_k$;
sostituendo $b_k$ nell'espressione determinata per $alpha_n$ si trova:
(*) $\quad alpha_n=\sum_(h+k=n " con " h>=-1,k>=-2) a_h*(\sum_(i+j=k " con " i,j>= -1) a_i*a_j)=\sum_(h+i+j=n " con "h,i,j>= -1) a_h*a_i*a_j \quad$.
Quindi per formare il coefficiente $alpha_n$ della serie di Laurent di $cot^3 z$ ti serve conoscere in quanti modi puoi scrivere $n$ come somma di tre interi $h,i,j >= -1$.
Per tornare al tuo problema, $-1$ lo puoi scrivere come:
$(-1)+0+0,\quad 0+(-1)+0,\quad 0+0+(-1)\quad$ e $\quad1+(-1)+(-1),\quad (-1)+1+(-1), \quad(-1)+(-1)+1$
quindi la (*) ti dice che:
$alpha_(-1)=a_(-1)a_0a_0+a_0a_(-1)a_0+a_0a_0a_(-1)+a_1a_(-1)a_(-1)+a_(-1)a_1a_(-1)+a_(-1)a_(-1)a_1$
$\quad \quad \quad=3a_(-1)a_0^2+3a_(-1)^2a_1$.
Meglio così?
Probabilmente rifaccio il conto di Gugo, ma vorrei provare anch'io ...
Se ho capito c'e' da trovare il residuo di $f(z)=(\frac{\cos(z)}{sin(z)})^3$ in zero.
Io partirei da
$\frac{\cos(z)}{\sin(z)}=\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{z-z^3/6+O(z^5)}=\frac{1}{z}(\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})$
$\quad=1/z(1+\frac{-1/3 z^2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})=1/z(1-1/3 z^2(\frac{1+O(z^2)}{1+O(z^2)}))$
$\quad=1/z(1-1/3 z^2(1+O(z^2)))=1/z(1-1/3 z^2 +O(z^4))$
Passando al cubo
$f(z)=\frac{1}{z^3}(1-1/3 z^2+O(z^4))^3=\frac{1}{z^3}(1+3(-1/3 z^2+O(z^4))+3O(z^2)^2+O(z^2)^3)$
$\quad=\frac{1}{z^3}(1-z^2+O(z^4))=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z}+O(z)$
Effettivamente il residuo viene $-1$
Se ho capito c'e' da trovare il residuo di $f(z)=(\frac{\cos(z)}{sin(z)})^3$ in zero.
Io partirei da
$\frac{\cos(z)}{\sin(z)}=\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{z-z^3/6+O(z^5)}=\frac{1}{z}(\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})$
$\quad=1/z(1+\frac{-1/3 z^2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})=1/z(1-1/3 z^2(\frac{1+O(z^2)}{1+O(z^2)}))$
$\quad=1/z(1-1/3 z^2(1+O(z^2)))=1/z(1-1/3 z^2 +O(z^4))$
Passando al cubo
$f(z)=\frac{1}{z^3}(1-1/3 z^2+O(z^4))^3=\frac{1}{z^3}(1+3(-1/3 z^2+O(z^4))+3O(z^2)^2+O(z^2)^3)$
$\quad=\frac{1}{z^3}(1-z^2+O(z^4))=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z}+O(z)$
Effettivamente il residuo viene $-1$
Era da tanto che non svolgevo un prodotto secondo Cauchy... Perchè devi sempre rovinarmi tutto, perchè?!?!
[size=75]Effettivamente è più semplice così, però mi sfasteriavo di fare il conticino.[/size]
[size=75]Effettivamente è più semplice così, però mi sfasteriavo di fare il conticino.[/size]
"Gugo82":
Era da tanto che non svolgevo un prodotto secondo Cauchy... Perchè devi sempre rovinarmi tutto, perchè?!?!
[size=75]Effettivamente è più semplice così, però mi sfasteriavo di fare il conticino.[/size]
Comunque l'idea non e' tanto diversa - mi pare solo di aver messo in forma piu' semplice il tuo post "combinatorio" (con l'accortezza di mettere negli O grandi tutto quello che alla fine non
da' contributo al residuo).
Sfasteriavo ??
[OT vernacolare]
Sfasteriavo ??[/quote]
Dialetto napoletano...
Sfasteriarsi è uno dei tanti verbi che ci derivano dal latino (precisamente da fastidium, con la tipica "s" rafforzativa davanti e l'indebolimento della "d" in "r"); significa circa "annoiarsi", ma con una punta di fastidio in più (e non poteva essere altrimenti, visto l'etimo che ho ricordato), diciamo più correttamente "infastidirsi".
Ad esempio, un altro verbo che ci viene direttamente dal latino è secutare: viene da sequor e ne conserva il significato.
[/OT]
"ViciousGoblin":
[quote="Gugo82"][size=75]Effettivamente è più semplice così, però mi sfasteriavo di fare il conticino.[/size]
Sfasteriavo ??[/quote]
Dialetto napoletano...
Sfasteriarsi è uno dei tanti verbi che ci derivano dal latino (precisamente da fastidium, con la tipica "s" rafforzativa davanti e l'indebolimento della "d" in "r"); significa circa "annoiarsi", ma con una punta di fastidio in più (e non poteva essere altrimenti, visto l'etimo che ho ricordato), diciamo più correttamente "infastidirsi".
Ad esempio, un altro verbo che ci viene direttamente dal latino è secutare: viene da sequor e ne conserva il significato.
[/OT]
E' passato un po di tempo ma sono stato fuori per lavoro.
Secutando i vostri discorsi ora tutto mi è decisamente più chiaro.
Soprattutto dopo l' *** EDIT: C'era un n al posto di -1.
Detto questo sicuramente l'approccio più rapido e conciso è quello del Viscido Goblin (che ha sfasteriato di brutto
).
Ora se mi ricordo bene l'analisi I il concetto di infinitesimi ed o piccoli ci venne spiegato a mo di addendum nelle ultime due lezioni.
$o(x)$ non è altro che un infinitesimo ed una notazione per semplificare calcoli complicati per esempio nel calcolo dei limiti che si trovano nella forma $0/0$ oppure $\infty/\infty$.
Se non erro hai utilizzato queste notazioni facendo riferimento a $f(x) = Tn(x) + o(x-x_0)^n$
Dove $o(x-x_0)^n$ rappresenta il resto scritto nella forma di Peano.
Con $Tn(x)$ che rappresenta il polinomio ti Taylor ovvero il troncamento della Serie di Taylor fino al termine n.
La matematica degli "o piccoli" non me la ricordo al 100% infatti qualche passaggio di quello che hai fatto non mi è chiaro.
Sicuramente ricordo che gli infinitesimi possono essere di vari ordini ed un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad uno di ordine inferiore non è altro che una quantità che tende più velocemente a 0. Dunque nel caso di forme del tipo $0/0$ l'infinitesimo al denominatore si può semplificare facend calare di ordine quello al numeratore.
Se non ricordo male $o(x)^2 = o(x^2), a*o(x) = o(x), o(x) + o(x) = o(x) , o(x^2)/o(x)=o(x) , (o(x)^2)/x=o(x)
Cmq rimane qualcosa che non mi è chiaro, per esempio esiste una regola matematica che ti permette di scegliere fino a che termine dello sviluppo di f(x) fermarti per eservizi di questo tipo.
Noi vogliamo calcolare $a_-1$ utilizzando quanto detto sopra $sen(x) = x - (x^3)/6 + o(x^5)$ ma si può scrivere, anzi spesso lo si usa di più come: $sen(x) = x + o(x)$.
Come hai scelto dove fermarti nello sviluppo ?
Inotre qualche passaggio mi è rimasto incognito:
$\frac{1}{z}(\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)}) = 1/z(1+\frac{-1/3z^2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})$ è chiaro hai sommato +1 e - 1 perchè essendo num/den dello stesso ordine ti permetteva di eliminare 1 che si trovava a numeratore.
Nel passaggio successivo hai messo in evidenza $-1/3z^2$ e semplificato quindi il numeratore...ma come hai semplificato il denominatore ? Ovvero è diventato $1+ O(z^2)$ e poi la frazione è diventata tutta:
$1+ O(z^2)$
Anche lo sviluppo del cubo mi pare strano.
Grazie delle risposte.
Secutando i vostri discorsi ora tutto mi è decisamente più chiaro.
Soprattutto dopo l' *** EDIT: C'era un n al posto di -1.
Detto questo sicuramente l'approccio più rapido e conciso è quello del Viscido Goblin (che ha sfasteriato di brutto
).Ora se mi ricordo bene l'analisi I il concetto di infinitesimi ed o piccoli ci venne spiegato a mo di addendum nelle ultime due lezioni.
$o(x)$ non è altro che un infinitesimo ed una notazione per semplificare calcoli complicati per esempio nel calcolo dei limiti che si trovano nella forma $0/0$ oppure $\infty/\infty$.
Se non erro hai utilizzato queste notazioni facendo riferimento a $f(x) = Tn(x) + o(x-x_0)^n$
Dove $o(x-x_0)^n$ rappresenta il resto scritto nella forma di Peano.
Con $Tn(x)$ che rappresenta il polinomio ti Taylor ovvero il troncamento della Serie di Taylor fino al termine n.
La matematica degli "o piccoli" non me la ricordo al 100% infatti qualche passaggio di quello che hai fatto non mi è chiaro.
Sicuramente ricordo che gli infinitesimi possono essere di vari ordini ed un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad uno di ordine inferiore non è altro che una quantità che tende più velocemente a 0. Dunque nel caso di forme del tipo $0/0$ l'infinitesimo al denominatore si può semplificare facend calare di ordine quello al numeratore.
Se non ricordo male $o(x)^2 = o(x^2), a*o(x) = o(x), o(x) + o(x) = o(x) , o(x^2)/o(x)=o(x) , (o(x)^2)/x=o(x)
Cmq rimane qualcosa che non mi è chiaro, per esempio esiste una regola matematica che ti permette di scegliere fino a che termine dello sviluppo di f(x) fermarti per eservizi di questo tipo.
Noi vogliamo calcolare $a_-1$ utilizzando quanto detto sopra $sen(x) = x - (x^3)/6 + o(x^5)$ ma si può scrivere, anzi spesso lo si usa di più come: $sen(x) = x + o(x)$.
Come hai scelto dove fermarti nello sviluppo ?
Inotre qualche passaggio mi è rimasto incognito:
$\frac{1}{z}(\frac{1-z^2/2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)}) = 1/z(1+\frac{-1/3z^2+O(z^4)}{1-z^2/6+O(z^4)})$ è chiaro hai sommato +1 e - 1 perchè essendo num/den dello stesso ordine ti permetteva di eliminare 1 che si trovava a numeratore.
Nel passaggio successivo hai messo in evidenza $-1/3z^2$ e semplificato quindi il numeratore...ma come hai semplificato il denominatore ? Ovvero è diventato $1+ O(z^2)$ e poi la frazione è diventata tutta:
$1+ O(z^2)$
Anche lo sviluppo del cubo mi pare strano.
Grazie delle risposte.
@EsaliX
Cerco di rispondere a qualcuna delle domande - chiedi pure ulteriori chiarimenti.
In effetti ho usato gli o grandi invece che gli o piccoli - in questo caso mi sembrava meglio. Ci sono varie sfumature per parlare di o grandi, ma in questo caso, in cui le funzioni sono analitiche,
puoi tradurre $O((z-z_0)^n)=(z-z_0)^nh(z)$ dove $h(z)$ e' analitica (olomorfa) in un intorno di $z_0$. Le formule che ho usato allora sono gli sviluppi di Taylor del seno e del coseno
Nota che in $\sin(z)=x-1/6 z^3+O(z^5)$ c'e' uno scarto tra il grado del polinomio e l'ordine del resto in quanto in realta' ho fatto lo sviluppo al quarto ordine e ho sfruttato il fatto che
il termine di grado quattro non c'e' (discorso analogo per il coseno). Avrei potuto scrivere $sin(z)=z-1/6 z^3 +1/120 z^5 +o(z^5)$ (o meglio $z^6$), ma in realta' non serve spingersi a questo.
Perche' ho troncato gli sviluppi a quel punto ?. Beh questa e' una questione di esperienza, pero' cerco di spiegarti perche' si intuisce che di piu' non poteva servire.
La funzione che abbiamo tra le mani e' $f(x)=g(z)^3$ dove $g(z)=\cos(z)/\sin(z)$. Dato che $\sin(z)=z+O(z^3)=z(1+O(z^2))$ si capisce che $g(z)$ ha un polo semplice cioe' $g(z)=1/z h(z)$ dove
$h$ e' olomorfa vicino a zero. Allora $f(z)=1/z^3 h(z)^3$ ($f$ ha un polo di ordine tre). Per trovare il residuo ci tocca trovare i coefficienti di Laurent negativi e quindi ci servono i coefficienti
di Taylor di $h^3$ da zero a due (per la verita' ci basterebbe quello di ordine due, da cui il coeff. di $f$ di ordine $-1$, ma il metodo che uso me li fa trovare tutti - l'alternativa e' la derivata da cui eri partito tu).
Ora e' abbastanza intutivo che per trovare lo sviluppo di Taylor di ordine due per $(\frac{\cos(z)}{\sin(z)/z})^3$ non serviranno i termini del $cos(z)$ di grado maggiore di due
(ora che ci penso invece di $O(z^3)$ avrei potuto scrivere $o(z^2)$ e sarebbe andato bene lo stesso). Analogamente bastera' lo sviluppo di $\sin(z)/z$ di ordine due e quindi lo
sviluppo di $\sin(z)$ di ordine tre. Nota che sto mettendo lo $z$ insieme al seno proprio perche' so che $\sin(z)/z$ e' olomorfa$
Riguardo al cubo credo di aver usato la formula $(1+w)^3=1+2w+3w^3+w^3$ (dove $w=...$) cercando di inglobare negli O grandi tutti i termini di grado (in $z$) maggiore o eguale a tre.
Spero di non aver fatto errori in quanto ho scritto sopra.
P.S. Me spiase, no go capio gnente de sto napoetan...
Cerco di rispondere a qualcuna delle domande - chiedi pure ulteriori chiarimenti.
In effetti ho usato gli o grandi invece che gli o piccoli - in questo caso mi sembrava meglio. Ci sono varie sfumature per parlare di o grandi, ma in questo caso, in cui le funzioni sono analitiche,
puoi tradurre $O((z-z_0)^n)=(z-z_0)^nh(z)$ dove $h(z)$ e' analitica (olomorfa) in un intorno di $z_0$. Le formule che ho usato allora sono gli sviluppi di Taylor del seno e del coseno
Nota che in $\sin(z)=x-1/6 z^3+O(z^5)$ c'e' uno scarto tra il grado del polinomio e l'ordine del resto in quanto in realta' ho fatto lo sviluppo al quarto ordine e ho sfruttato il fatto che
il termine di grado quattro non c'e' (discorso analogo per il coseno). Avrei potuto scrivere $sin(z)=z-1/6 z^3 +1/120 z^5 +o(z^5)$ (o meglio $z^6$), ma in realta' non serve spingersi a questo.
Perche' ho troncato gli sviluppi a quel punto ?. Beh questa e' una questione di esperienza, pero' cerco di spiegarti perche' si intuisce che di piu' non poteva servire.
La funzione che abbiamo tra le mani e' $f(x)=g(z)^3$ dove $g(z)=\cos(z)/\sin(z)$. Dato che $\sin(z)=z+O(z^3)=z(1+O(z^2))$ si capisce che $g(z)$ ha un polo semplice cioe' $g(z)=1/z h(z)$ dove
$h$ e' olomorfa vicino a zero. Allora $f(z)=1/z^3 h(z)^3$ ($f$ ha un polo di ordine tre). Per trovare il residuo ci tocca trovare i coefficienti di Laurent negativi e quindi ci servono i coefficienti
di Taylor di $h^3$ da zero a due (per la verita' ci basterebbe quello di ordine due, da cui il coeff. di $f$ di ordine $-1$, ma il metodo che uso me li fa trovare tutti - l'alternativa e' la derivata da cui eri partito tu).
Ora e' abbastanza intutivo che per trovare lo sviluppo di Taylor di ordine due per $(\frac{\cos(z)}{\sin(z)/z})^3$ non serviranno i termini del $cos(z)$ di grado maggiore di due
(ora che ci penso invece di $O(z^3)$ avrei potuto scrivere $o(z^2)$ e sarebbe andato bene lo stesso). Analogamente bastera' lo sviluppo di $\sin(z)/z$ di ordine due e quindi lo
sviluppo di $\sin(z)$ di ordine tre. Nota che sto mettendo lo $z$ insieme al seno proprio perche' so che $\sin(z)/z$ e' olomorfa$
Riguardo al cubo credo di aver usato la formula $(1+w)^3=1+2w+3w^3+w^3$ (dove $w=...$) cercando di inglobare negli O grandi tutti i termini di grado (in $z$) maggiore o eguale a tre.
Spero di non aver fatto errori in quanto ho scritto sopra.
P.S. Me spiase, no go capio gnente de sto napoetan...
C'è qualche esponente che non torna qua e là mi pare... Ma è cosa da poco.
[OT]
Veneto? O di dove?
Credo, però, che EsaliX (che è un uomo? Ha usato "sono stato fuori" prima...) abbia preso a prestito termini miei, non credo sia delle mie parti... Anche se ci sono indizi che mi farebbero propendere per il contrario.
Forse qualche nordista in missione all'estero?
[/OT]
[OT]
"ViciousGoblin":
Me spiase, no go capio gnente de sto napoetan...
Veneto? O di dove?
Credo, però, che EsaliX (che è un uomo? Ha usato "sono stato fuori" prima...) abbia preso a prestito termini miei, non credo sia delle mie parti... Anche se ci sono indizi che mi farebbero propendere per il contrario.
Forse qualche nordista in missione all'estero?
[/OT]
"Gugo82":
C'è qualche esponente che non torna qua e là mi pare... Ma è cosa da poco.
[OT]
[quote="ViciousGoblin"]Me spiase, no go capio gnente de sto napoetan...
Veneto di dove?
Credo, però, che ElisaX (che è un uomo? Ha usato "sono stato fuori" prima... Mah!) abbia preso a prestito termini miei, non credo sia delle mie parti...
[/OT][/quote]
Credo che l'esponente fosse un due al posto di tre che avevo gia' notato.
[OT]
Riguardo alle mie origini sono nato a Trieste, ma i miei genitori venivano dalla provincia di Padova (e parlavano il dialetto in casa - dialetto che ho cercato di ricostruire a mente non parlandolo da piu' di trent'anni).
Nonostante i dialetti siano parenti c'era una netta separazione di come mi esprimevo a casa, come con miei amici e compagni di scuola e come con gli insegnanti - ho sempre ritenuto di dovere molto delle mie capacita' "logico-formali" a questo elementarissimo "poliinguismo".
Vivo a Pisa dal 1977 (data in cui ho iniziato l'universita') - ma un ci 'apisco nulla di vel che dicano sti pisani! (dovrei chiedere a mia figlia se e' giusto ...)
[/OT]
No sono sudista in missione all'estero, visto che la sicilia al di fuori e come se fosse terra straniera .
Ma sono oriundo quindi non conosco effettivametne il napoletano, ho semplicemetne riproposto i termini da voi utilizzati.
Quanto agli ulteriori chiarimenti il passaggio incognito che ho scritto non mi torna dove dopo che hai messo in evidenza $-1/3z^2$ poi anche il denominatore è diventato identico al numeratore.
Inoltre mi sarò perso sicuramente qualcosa ma a me lo sviluppo del cubo viene:
$1 - 2/3z^2 +1/3z^4 -1/27z^6 + O(z^4) + O(z^6) + O(z^8) + O(z^10) + O(z^12)$
E nell'ultimo passaggio da te scritto hai eliminato O^6 e sei rimasto solo con O^4 ??
Baciamo le mani.
.Ma sono oriundo quindi non conosco effettivametne il napoletano, ho semplicemetne riproposto i termini da voi utilizzati.
Quanto agli ulteriori chiarimenti il passaggio incognito che ho scritto non mi torna dove dopo che hai messo in evidenza $-1/3z^2$ poi anche il denominatore è diventato identico al numeratore.
Inoltre mi sarò perso sicuramente qualcosa ma a me lo sviluppo del cubo viene:
$1 - 2/3z^2 +1/3z^4 -1/27z^6 + O(z^4) + O(z^6) + O(z^8) + O(z^10) + O(z^12)$
E nell'ultimo passaggio da te scritto hai eliminato O^6 e sei rimasto solo con O^4 ??
Baciamo le mani.
Mi pare che il problema sia "la matematica degli o grandi" come la chiami tu. Scrivendo per esempio $O(z^3)$ intendo qualcosa dell'ordine di $z^3$ o maggiore (rigorosamente
un O grande di $z^3$ e' una funzione $h(z)$ di cui so che divisa per $z^3$ ha limite - e quindi e' analitica nel nostro caso).
Ora e' chiaro che il vantaggio di questa notazione e' di "buttarci dentro tutto cio' che ha ordine maggiore o eguale a $z^3$"
(perche' mi aspetto che non serva ai fini di quello che devo calcolare).
Quindi per esempio $3 z^3=O(z^3)$, $z^3+z^5=O(z^3)+O(z^5)=O(z^3)$ e cosi' via.
Nel passaggio incriminato ho usato il fatto che $-z^2/6+O(z^4)=O(z^2)+O(z^4)=O(z^2)$ - quel $-z^2/6$ l'ho usato nel passaggio
precedente e ora non mi serve piu'.
Riguardo al cubo il calcolo dettagliato e' $(1-z^2/3+O(z^4))^3=1+3(-z^2/3+O(z^4))+3(-z^2/3+O(z^4))^2+(-z^2/3+O(z^4))^3= (\star)$,
qui intuisco che nel terzo e quarto addendo esce almeno $z^4$ e quindi semplifico
$(\star)=1+3(-z^2/3+O(z^4))+3(O(z^2))^2+(O(z^2))^3=1-z^2+3 O(z^4)+3 O(z^4)+O(z^6)=1-z^2+O(z^4)$
un O grande di $z^3$ e' una funzione $h(z)$ di cui so che divisa per $z^3$ ha limite - e quindi e' analitica nel nostro caso).
Ora e' chiaro che il vantaggio di questa notazione e' di "buttarci dentro tutto cio' che ha ordine maggiore o eguale a $z^3$"
(perche' mi aspetto che non serva ai fini di quello che devo calcolare).
Quindi per esempio $3 z^3=O(z^3)$, $z^3+z^5=O(z^3)+O(z^5)=O(z^3)$ e cosi' via.
Nel passaggio incriminato ho usato il fatto che $-z^2/6+O(z^4)=O(z^2)+O(z^4)=O(z^2)$ - quel $-z^2/6$ l'ho usato nel passaggio
precedente e ora non mi serve piu'.
Riguardo al cubo il calcolo dettagliato e' $(1-z^2/3+O(z^4))^3=1+3(-z^2/3+O(z^4))+3(-z^2/3+O(z^4))^2+(-z^2/3+O(z^4))^3= (\star)$,
qui intuisco che nel terzo e quarto addendo esce almeno $z^4$ e quindi semplifico
$(\star)=1+3(-z^2/3+O(z^4))+3(O(z^2))^2+(O(z^2))^3=1-z^2+3 O(z^4)+3 O(z^4)+O(z^6)=1-z^2+O(z^4)$
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