LIMITE COMPLICATO

[lupomatematico]

$\lim_{x\to 0}\((log(1+tgx))^2/(e^x-1))^((1+x^2)^(1/3)-cosx)$

moltiplicando e dividendo nella parentesi tonda per $x$ e $(tgx)^2$ , utilizzando i limiti notevoli arrivo a questa forma del limite:

$\lim_{x\to 0}\(tgx)^((1+x^2)^(1/3)-cosx)$ adesso le ho provate tutte ma non riesco ad andare avanti............

[Luca.Lussardi]

Direi anzitutto di usare l'identità $e^(log(x))=x$ vera per ogni $x>0$.

[lupomatematico]

Sono andato avanti così: per non appesantire le notazioni chiamo $b=(1+x^2)^(1/3)-cosx$

divido e moltiplico ancora per x ottenendo $(xtgx/x)^b$ da cui ottengo $x^b(tgx/x)^b$ il secondo pezzo tende a 1 quindi mi rimane da calcolare il limite per x che tende a 0 di $x^b$ a questo punto ho applicato la regola $e^log$ e successivamente ho posto l'argomento del limite in una forma tale da poter applicare Hopital.Non riesco a risolverlo però. siccome i passaggi che ho fatto per ridurmi al limite per x che tende a 0 di $x^b$ mi sembrano giusti vi chiedo di soffermarvi sulla risoluzione di quest'ultimo limite.

[lupomatematico]

Per la precisione: quella t staccata è da intendersi legata alla gx,cioè è $tgx$

[fireball1]

Dunque per quanto riguarda la base della potenza
è sufficiente conoscere i limiti notevoli, infatti:
$log^2(1+tanx)~~tan^2x~~x^2$ per $x->0$
$e^x-1~~x$ per $x->0$
Per quanto riguarda l'esponente, sviluppiamolo
arrestandoci al secondo ordine.
Tenendo presente che $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ per $x->0$
e che $cosx=1-1/2 x^2 + o(x^2)$ per $x->0$, si ha:
$(1+x^2)^(1/3)=1+1/3x^2 +o(x^2)
e dunque l'esponente per $x->0$ è uguale a:
$1+1/3 x^2 -1+1/2x^2+o(x^2)=5/6x^2+o(x^2)~~5/6x^2
Scrivendo allora come suggerito da Luca
nella forma $e^(g(x)log(f(x)))$ si ottiene
che il limite dato è uguale a:
$lim_(x->0) e^(5/6 x^2 logx) = e^0=1

[lupomatematico]

In effetti il mio ragionamento andava bene soltanto che non sono riuscito a porre in una forma più semplice quell'esponente. Bisognava quindi utilizzare la formula di Taylor per semplificarlo. Comunque grazie per l'aiuto