Limite col fattoriale
Come posso risolvere questo limite?
$lim_(n->+infty)( (ln(n))^n)/(n!)$
$lim_(n->+infty)( (ln(n))^n)/(n!)$
Risposte
Tentativi tuoi?
"Seneca":
Tentativi tuoi?
Ho provato con il metodo con il metodo di elevare $e$ a tutta la funzione, ma non risolvo niente.
Ho visto anche i teoremi di cesaro , ma in questo caso non c'è nè somma, nè radice ennesima.
Poi ho pensato di dimostrare che se la serie $Sigma (ln(n))^n/(n!)$ converge allora quel limite è "0".
Ho applicato il criterio della radice e alla fine avevo $lim_(n->+infty) (ln(n))/(n!)^(1/n)$,affinchè la serie diverga quel limite deve essere minore di uno e però non sono sicura che il $ln(n)$ sia un infinito minore della radice ennesima di $n!$, perchè se così non fosse la serie divergerebbe.Poi non sono riuscita a trovare altri sistemi .
"Taniab":
[quote="Seneca"]Tentativi tuoi?
Ho provato con il metodo con il metodo di elevare $e$ a tutta la funzione, ma non risolvo niente.
Ho visto anche i teoremi di cesaro , ma in questo caso non c'è nè somma, nè radice ennesima.
Poi ho pensato di dimostrare che se la serie $Sigma (ln(n))^n/(n!)$ converge allora quel limite è "0".
Ho applicato il criterio della radice e alla fine avevo $lim_(n->+infty) (ln(n))/(n!)^(1/n)$,affinchè la serie diverga quel limite deve essere minore di uno e però non sono sicura che il $ln(n)$ sia un infinito minore della radice ennesima di $n!$, perchè se così non fosse la serie divergerebbe.Poi non sono riuscita a trovare altri sistemi .[/quote]
eh no!.. NON puoi applicare il criterio delle radice ad un limite di successione! Il criterio della radice è solo per le serie numeriche!..
per i limiti di successione esiste questa uguaglianza $\lim_{n\rightarrow+\infty} root(n)(a_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty} (a_{n+1})/(a_n)$. Ma non è il tuo caso!..
Qui però in questo limite di successione puoi benissimo applicare il Criterio del Rapporto questo si può fare!
esempio di successione e serie numerica:
tu hai $a_n=1/n$, se fai $\lim_{n\rightarrow+\infty} 1/n =0$, mentre la serie $\sum 1/n = +\infty$, si comporta come un logaritmo (velocità di divergenza).La dimostrazione si fa benissimo con il criterio dell'integrale!
"Taniab":
Poi ho pensato di dimostrare che se la serie $Sigma (ln(n))^n/(n!)$ converge allora quel limite è "0".
Ho applicato il criterio della radice
Mi sembra assolutamente legittimo, e anche una bella idea. In pratica però puoi usare una sorta di criterio della radice anche per le successioni numeriche se ci pensi bene.
Col criterio del rapporto mi sembra venga 1 quindi non è conclusivo.
Penso che col criterio della radice e l'approssimazione di Stirling del fattoriale si concluda.
[OT]
@21zuclo:
Primo: Perché sottolineare, grassettare e colorare?
Non bastava una sola delle tre cose?
Secondo: Ciò che hai scritto è inesatto.
Esistono criteri della radice e del rapporto anche per le successioni. In particolare:
La dimostrazione banale di questi due criteri la lascio volentieri a te.
[/OT]
Venendo alla questione sollevata nel thread, una banale applicazione del criterio del rapporto per le successioni ricordato qui sopra risolve ogni dubbio: invero è:
\[
\frac{\frac{\log^{n+1} (n+1)}{(n+1)!}}{\frac{\log^n n}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!}\ \log (n+1)\ \left(\frac{\log (n+1)}{\log n}\right)^n = \frac{\log (n+1)}{n+1}\ \exp \left( n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n}\right) \; ;
\]
usando l'approssimazione \(\log y \approx y-1\) quando \(y\to 1\) troviamo:
\[
\log \frac{\log (n+1)}{\log n} \approx \frac{\log (n+1)}{\log n} -1 = \frac{\log (n+1)-\log n}{\log n} = \frac{\log (1+1/n)}{\log n} \approx \frac{1}{n\ \log n}
\]
e perciò:
\[
n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n} \approx n\ \frac{1}{n\ \log n} = \frac{1}{\log n}
\]
quindi:
\[
\exp \left( n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n}\right) \approx \exp \left( \frac{1}{\log n}\right) \approx 1
\]
ed infine:
\[
\frac{\frac{\log^{n+1} (n+1)}{(n+1)!}}{\frac{\log^n n}{n!}} \approx \frac{\log (n+1)}{n+1} \to 0<1.
\]
Pertanto la tua successione è infinitesima.
Oppure, ricordando l'approssimazione di Stirling, si ha:
\[
\frac{\log^n n}{n!} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \frac{\log^n n}{\left( \frac{n}{e}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\; ;
\]
dato che \(\frac{\log n}{n}\) è un \(\text{o}(\frac{1}{\sqrt{n}})\), si può maggiorare definitivamente l'ultimo membro come segue:
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \frac{1}{e}}{\sqrt{n}}\right)^n = \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \frac{1}{\sqrt{n^n}}
\]
sicché \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\) è un \(\text{O}(\frac{1}{n^{(n+1)/2}})\); conseguentemente, la successione di partenza è \(\text{O}(\frac{1}{n^{(n+1)/2}})\) e, dunque, converge a zero.
@21zuclo:
"21zuclo":
eh no!.. NON puoi applicare il criterio delle radice ad un limite di successione! Il criterio della radice è solo per le serie numeriche!..
Primo: Perché sottolineare, grassettare e colorare?
Non bastava una sola delle tre cose?
Secondo: Ciò che hai scritto è inesatto.
Esistono criteri della radice e del rapporto anche per le successioni. In particolare:
Criterio della Radice: Sia \((a_n)\) una successione a termini non negativi.
Valgono le seguenti affermazioni:
[list=1]
[*:hn6r84v1] se \(\displaystyle \limsup_n \sqrt[n]{a_n} <1\) allora la successione \((a_n)\) è infinitesima;
[/*:m:hn6r84v1]
[*:hn6r84v1] se \(\displaystyle \liminf_n \sqrt[n]{a_n} >1\) allora la successione \((a_n)\) diverge positivamente.[/*:m:hn6r84v1][/list:o:hn6r84v1]
Criterio del Rapporto: Sia \((a_n)\) una succesione a termini positivi.
Valgono le seguenti affermazioni:
[list=1]
[*:hn6r84v1] se \(\displaystyle \limsup_n \frac{a_{n+1}}{a_n} <1\) allora la successione \((a_n)\) è infinitesima;
[/*:m:hn6r84v1]
[*:hn6r84v1] se \(\displaystyle \liminf_n \frac{a_{n+1}}{a_n} >1\) allora la successione \((a_n)\) diverge positivamente.[/*:m:hn6r84v1][/list:o:hn6r84v1]
La dimostrazione banale di questi due criteri la lascio volentieri a te.
[/OT]
Venendo alla questione sollevata nel thread, una banale applicazione del criterio del rapporto per le successioni ricordato qui sopra risolve ogni dubbio: invero è:
\[
\frac{\frac{\log^{n+1} (n+1)}{(n+1)!}}{\frac{\log^n n}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!}\ \log (n+1)\ \left(\frac{\log (n+1)}{\log n}\right)^n = \frac{\log (n+1)}{n+1}\ \exp \left( n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n}\right) \; ;
\]
usando l'approssimazione \(\log y \approx y-1\) quando \(y\to 1\) troviamo:
\[
\log \frac{\log (n+1)}{\log n} \approx \frac{\log (n+1)}{\log n} -1 = \frac{\log (n+1)-\log n}{\log n} = \frac{\log (1+1/n)}{\log n} \approx \frac{1}{n\ \log n}
\]
e perciò:
\[
n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n} \approx n\ \frac{1}{n\ \log n} = \frac{1}{\log n}
\]
quindi:
\[
\exp \left( n\ \log \frac{\log (n+1)}{\log n}\right) \approx \exp \left( \frac{1}{\log n}\right) \approx 1
\]
ed infine:
\[
\frac{\frac{\log^{n+1} (n+1)}{(n+1)!}}{\frac{\log^n n}{n!}} \approx \frac{\log (n+1)}{n+1} \to 0<1.
\]
Pertanto la tua successione è infinitesima.
Oppure, ricordando l'approssimazione di Stirling, si ha:
\[
\frac{\log^n n}{n!} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \frac{\log^n n}{\left( \frac{n}{e}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\; ;
\]
dato che \(\frac{\log n}{n}\) è un \(\text{o}(\frac{1}{\sqrt{n}})\), si può maggiorare definitivamente l'ultimo membro come segue:
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \frac{1}{e}}{\sqrt{n}}\right)^n = \frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \frac{1}{\sqrt{n^n}}
\]
sicché \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\ n}}\ \left(\frac{e\ \log n}{n}\right)^n\) è un \(\text{O}(\frac{1}{n^{(n+1)/2}})\); conseguentemente, la successione di partenza è \(\text{O}(\frac{1}{n^{(n+1)/2}})\) e, dunque, converge a zero.
@gugo82
chiedo scusa non lo sapevo che esisteva un criterio della radice per le successioni. Il mio libro di testo di Analisi 1 non lo riporta e neanche il prof l'aveva spiegato a lezione.
Comunque sì non è stato corretto il mio comportamento. Chiedo scusa.
Tornando anche alla successione di partenza, chiedo perchè ci ho pensato in serata. Non può essere invece di far vedere tutti sti passaggi dire che tendeva a zero facilmente perchè $n!$ è più forte all'infito di qualsiasi $ln n$?
(chiedo solamente)
chiedo scusa non lo sapevo che esisteva un criterio della radice per le successioni. Il mio libro di testo di Analisi 1 non lo riporta e neanche il prof l'aveva spiegato a lezione.
Comunque sì non è stato corretto il mio comportamento. Chiedo scusa.
Tornando anche alla successione di partenza, chiedo perchè ci ho pensato in serata. Non può essere invece di far vedere tutti sti passaggi dire che tendeva a zero facilmente perchè $n!$ è più forte all'infito di qualsiasi $ln n$?
(chiedo solamente)
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