Limite chiarimento soluzione
salve a tutti... vorrei un chiarimento sulla "soluzione" di un limite.
Metto l'esercizio:
sia $f: RR^2 -> RR$ l'applicazione definita dalla legge:
$f(x,y) = { (0, ", per " (x,y) " con " x in QQ " ed " y in QQ), ( 1, ", negli altri punti di " RR^2):} $
Tale applicazione non ammette limite in nessun punto di $RR^2$ .
La mia domanda è: per quale motivo?!
Ringrazio anticipatamente.
Metto l'esercizio:
sia $f: RR^2 -> RR$ l'applicazione definita dalla legge:
$f(x,y) = { (0, ", per " (x,y) " con " x in QQ " ed " y in QQ), ( 1, ", negli altri punti di " RR^2):} $
Tale applicazione non ammette limite in nessun punto di $RR^2$ .
La mia domanda è: per quale motivo?!
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
forse considera il caso della funzione definita prima su $RR$ cioè che vale 0 sui razionali e 1 sugli irrazionali e vedi che ne esce.
spero di non dire cretinate.
spero di non dire cretinate.
Sai che sia [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] sia [tex]$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$[/tex] sono densi in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Ora fissa a caso [tex]$(x,y)\in \mathbb{R}^2$[/tex]: tale punto lo puoi approssimare con una successione [tex]$(\overline{x}_n,\overline{y}_n) \in \mathbb{Q}^2$[/tex] e con una successione [tex]$(\underline{x}_n,\underline{y}_n) \in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})^2$[/tex] (nel senso che [tex]$\lim_n (\overline{x}_n,\overline{y}_n) =(x,y)=\lim_n (\underline{x}_n,\underline{y}_n)$[/tex]).
Cosa succede se calcoli [tex]$\lim_n f(\overline{x}_n,\overline{y}_n)$[/tex] e [tex]$\lim_n f(\underline{x}_n,\underline{y}_n)$[/tex]?
In che rapporto è questo risultato col teorema di unicità dal limite (o col cosiddetto teorema ponte)?
Ora fissa a caso [tex]$(x,y)\in \mathbb{R}^2$[/tex]: tale punto lo puoi approssimare con una successione [tex]$(\overline{x}_n,\overline{y}_n) \in \mathbb{Q}^2$[/tex] e con una successione [tex]$(\underline{x}_n,\underline{y}_n) \in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})^2$[/tex] (nel senso che [tex]$\lim_n (\overline{x}_n,\overline{y}_n) =(x,y)=\lim_n (\underline{x}_n,\underline{y}_n)$[/tex]).
Cosa succede se calcoli [tex]$\lim_n f(\overline{x}_n,\overline{y}_n)$[/tex] e [tex]$\lim_n f(\underline{x}_n,\underline{y}_n)$[/tex]?
In che rapporto è questo risultato col teorema di unicità dal limite (o col cosiddetto teorema ponte)?
Se prendi un qualunque (x,y) della funzione è impossibile determinarne il limite perché nel suo intorno la funzione continua "all'impazzata" a cambiare valore tra 0 e 1 (perchè qualunque sia il punto che prenderesti in considerazione, in un suo intorno ci sono infiniti numeri razionali ma anche infiniti numeri reali non razionali---> Q è denso in R). Il limite se esiste è unico, quindi in questo caso non c'è.
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