Limite che tende zero
Salve a tutti, non sono sicuro sul risultato del limite che tende a zero di questa funzione: $ (e^(3x)-1)^2/(sin(5x)-5x) $
Provando ad usare Taylor mi torna meno infinito. All' esame davano 4 possibili risposte: più infinito, meno infinito, zero e nessuna delle altre.
La risposta giusta qual è?
Almeno so se lo svolgimento con Taylor che faccio è giusto o sbagliato
Grazie
Provando ad usare Taylor mi torna meno infinito. All' esame davano 4 possibili risposte: più infinito, meno infinito, zero e nessuna delle altre.
La risposta giusta qual è?
Almeno so se lo svolgimento con Taylor che faccio è giusto o sbagliato
Grazie
Risposte
anche a me risulta $-infty$
ok... il dubbio è sorto perchè un mio amico usando de l'Hopital gli veniva più infinito e ad un altro usando il grafico fatto da un programma mi diceva zero.
ti dico come ho fatto : ho diviso numeratore e denominatore per $9x^2$ in modo che al numeratore il limite venisse 1
al denominatore ho applicato 2 volte De L'Hopital
al denominatore ho applicato 2 volte De L'Hopital
e al numeratore non hai applicato de l'Hopital?
al numeratore mi sono rifatto al limite notevole
$ lim_(z-> 0) (e^z-1)/z=1 $
$ lim_(z-> 0) (e^z-1)/z=1 $
ok ma intendevo quando si fa de l'Hopital non bisognerebbe derivare sia numeratore che denominatore?
ho risolto
$ lim_(x -> 0) (e^(3x)-1)^2/(9x^2) $ con il limite notevole
e
$ lim_(x -> 0) (sen5x-5x)/(9x^2) $ con De L'Hopital
$ lim_(x -> 0) (e^(3x)-1)^2/(9x^2) $ con il limite notevole
e
$ lim_(x -> 0) (sen5x-5x)/(9x^2) $ con De L'Hopital
perfetto... l'importante è che venga meno infinito
questo è il mio svolgimento:
$ ((1+3x-1)^2/(5x-(5x)^3/(3!)-5x))=(3x)^2/(-(5x)^3/6)=54/-(125x) $
quindi mettendo $ x=0 $
viene $ 54/-0 $
questo è il mio svolgimento:
$ ((1+3x-1)^2/(5x-(5x)^3/(3!)-5x))=(3x)^2/(-(5x)^3/6)=54/-(125x) $
quindi mettendo $ x=0 $
viene $ 54/-0 $
Con Taylor:
$$(e^{3x}-1)^2\sim (1+3x-1)^2=9x^2,\quad \sin(5x)-5x\sim 5x-\frac{125 x^3}{6}-5x=-\frac{125 x^3}{6}$$
e quindi la funzione
$$\frac{(e^{3x}-1)^2}{\sin(5x)-5x}\sim\frac{9x^2}{-\frac{125 x^3}{6}}=-\frac{54}{125 x}$$
per cui secondo me il limite per $x\to 0$ non esiste, visto che
$$\lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$$
$$(e^{3x}-1)^2\sim (1+3x-1)^2=9x^2,\quad \sin(5x)-5x\sim 5x-\frac{125 x^3}{6}-5x=-\frac{125 x^3}{6}$$
e quindi la funzione
$$\frac{(e^{3x}-1)^2}{\sin(5x)-5x}\sim\frac{9x^2}{-\frac{125 x^3}{6}}=-\frac{54}{125 x}$$
per cui secondo me il limite per $x\to 0$ non esiste, visto che
$$\lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$$
hai ragione ,ho sbagliato ad applicare de l'hopital(non so per quali misteri della mente avevo fatto comparire un seno al quadrato )
dopo due passaggi viene $ lim_(x -> 0) (-25sen5x)/18 $
spero che tornado tornerà a dare un occhiata al topic
non vorrei averlo sulla coscienza
dopo due passaggi viene $ lim_(x -> 0) (-25sen5x)/18 $
spero che tornado tornerà a dare un occhiata al topic
non vorrei averlo sulla coscienza
quindi tra le risposte : meno inf, più inf, zero, non esiste... la risp è non esiste?
Secondo al definizione di limite, sì.
boh... chiederò al docente perchè altri dicono che esistere deve esistere. appena saprò qualcosa vi farò sapere.
Grazie comunque a tutti
Grazie comunque a tutti
se vuoi chiedere ne hai facoltà
ma concordo con ciampax sul fatto che il limite non esiste
edit: posso permettermi una piccola pignoleria? non dire "limite che tende a zero" (anche perchè il limite è un numero o $infty$ e non tende a niente) ma "limite per x che tende a zero"
ma concordo con ciampax sul fatto che il limite non esiste
edit: posso permettermi una piccola pignoleria? non dire "limite che tende a zero" (anche perchè il limite è un numero o $infty$ e non tende a niente) ma "limite per x che tende a zero"
ma non esiste perchè zero non è nel campo d'esistenza della funzione?? perchè se al posto di x metto zero viene un numero fratto zero, quindi infinito, e siccome c'è il meno viene meno infinito no???
si sbagliavo a dire il limite che tende a zero SORRY!! è nella foga dello scrivere che domani ho l'esame!
si sbagliavo a dire il limite che tende a zero SORRY!! è nella foga dello scrivere che domani ho l'esame!
No, non esiste per la definizione di limite. Diciamo che $\lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty$ se per ogni $M>0$ esiste un $\delta_M>0$ tale che, per ogni $x$ per cui $0<|x-x_0|<\delta_M$ si abbia $f(x)< -M$.
Ora, l'ultima disequazione deve valere sia per $x<0$ che per $x>0$, ma puoi convincerti da solo che la cosa non accade.
In modo analogo, esiste $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ (con $a$ finito o infinito) se e solo se $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-} f(x)=a$. E io ti ho appena dimostrato che vengono due limiti diversi.
Ora, l'ultima disequazione deve valere sia per $x<0$ che per $x>0$, ma puoi convincerti da solo che la cosa non accade.
In modo analogo, esiste $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ (con $a$ finito o infinito) se e solo se $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-} f(x)=a$. E io ti ho appena dimostrato che vengono due limiti diversi.
ah ok.... si giusto perchè nell'intorno di zero x tende a due cose diverse. Grazie
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