Limite che non riesco a risolvere

[michele161]

Ragazzi non riesco a risolvere questo limite:
$limx->0 1/x(1/(sin(tan(x)))-1/x)$

So che il risultato è -1/6

[Seneca1]

"michele161":Ragazzi non riesco a risolvere questo limite:
$limx->0 1/x(1/(sin(tan(x)))-1/x)$

So che il risultato è -1/6

Scrivi le tue idee; al limite puoi riportare il procedimento che hai seguito.

[michele161]

Ho provato con lo sviluppo di taylor sia in questa forma e sia con un cambio di variabili trasformandolo in:
$ lim->0 (1/arctan(x))(1/sin(x) - 1/arctan(x))

[deneb1]

mi trovo invece -1/2... se vuoi ti lascio il procedimento

[michele161]

Dovrebbe tendere a -1/6, ho visto il grafico con graph e ho risolto il limite con maple 13.
Grazie per averci provato, si mi farebbe piacere se mi lasciassi il procedimento, è sempre utile e istruttivo.

[gugo82]

[mod="gugo82"]@ deneb: Ti prego di modificare al più presto il tuo avatar in conformità al regolamento (cfr. 2.3).[/mod]

[deneb1]

$lim_(x->0) 1/x(1/sin(tgx) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(1/(sin(tgx)/(tgx))(1/(tgx)) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(1/(tgx) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/sinx - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/(sinx/x)(1/x) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/x - 1/x)=$
$lim_(x->0) -((1-cosx)/x^2)=-1/2$

tutte vertono sul limite notevole $lim_(x->0) (senx)/x =1$ e due sono le sostituzioni...
strano perche se metto $y=tgx$ per $lim_(x->0) y=0$ quindi è ben posta... sai dirmi dov'è l'errore?

[strangolatoremancino]

In caso interessi anche il mio

$1/x(1/(sin(tan(x)))-1/x)=1/x (x-sin(tanx))/(xsin(tanx)) \sim (x-sin(tanx))/x^3$ sviluppi il seno quanto basta

$(x-(tanx -(tan^3x)/(3!) + o(x^3)))/x^3$ sviluppi la tangente (quando elevi alla terza tieni solo quello che serve)

$(x-(x+x^3/3-x^3/(3!) + o(x^3)))/x^3=(-x^3/3+x^3/(3!) + o(x^3))/x^3= -1/3 + 1/6 + o(1)=-1/6 + o(1)->-1/6$

credo

[GIBI1]

$\sin(\tan x)\sim \sin(x+ o(x))\sim x-x^3/6+ o(x^3)$, poi è solo algebra elementare.

[michele161]

"deneb":$lim_(x->0) 1/x(1/sin(tgx) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(1/(sin(tgx)/(tgx))(1/(tgx)) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(1/(tgx) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/sinx - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/(sinx/x)(1/x) - 1/x)=$
$lim_(x->0) 1/x(cosx/x - 1/x)=$
$lim_(x->0) -((1-cosx)/x^2)=-1/2$

tutte vertono sul limite notevole $lim_(x->0) (senx)/x =1$ e due sono le sostituzioni...
strano perche se metto $y=tgx$ per $lim_(x->0) y=0$ quindi è ben posta... sai dirmi dov'è l'errore?

Forse l'errore sta nel fatto che i limiti notevoli si sostituiscono con il limite tutti insieme alla fine, no alcuni durante e alcuni alla fine..

"strangolatoremancino":In caso interessi anche il mio

$1/x(1/(sin(tan(x)))-1/x)=1/x (x-sin(tanx))/(xsin(tanx)) \sim (x-sin(tanx))/x^3$ sviluppi il seno quanto basta

$(x-(tanx -(tan^3x)/(3!) + o(x^3)))/x^3$ sviluppi la tangente (quando elevi alla terza tieni solo quello che serve)

$(x-(x+x^3/3-x^3/(3!) + o(x^3)))/x^3=(-x^3/3+x^3/(3!) + o(x^3))/x^3= -1/3 + 1/6 + o(1)=-1/6 + o(1)->-1/6$

credo

Si hai fatto bene, io facevo prima gli sviluppi e poi il resto, e mi impallavo. Grazie..

[deneb1]

mah... ho sempre diviso il limite principale in sezioni che risolvevo a parte... a seconda di quale pezzo poteva intaccare la vicinanza alla soluzione...