Limite che non riesco a risolvere
Ciao a tutti
$lim_(x->0)(e^x-1)/sin(4x)=1/4$
non riesco proprio a risolvere questo limite il libro dice che viene 1/4 qualcuno mi può aiutare?
volevo anche chiedere se conoscete buoni siti con esercizi anche svolti sui limiti per esercitarmi il più possibile
grazie a tutti
$lim_(x->0)(e^x-1)/sin(4x)=1/4$
non riesco proprio a risolvere questo limite il libro dice che viene 1/4 qualcuno mi può aiutare?
volevo anche chiedere se conoscete buoni siti con esercizi anche svolti sui limiti per esercitarmi il più possibile
grazie a tutti
Risposte
Riscrivendolo così:
$lim_(x->0)1/4*((e^x-1)/x)*((4x)/sin(4x))$
dovrebbe essere molto semplice...
$lim_(x->0)1/4*((e^x-1)/x)*((4x)/sin(4x))$
dovrebbe essere molto semplice...
O sennò considera il polinomio di Mc Laurin per cui:
$e^x=1+x+o(x)$
$sin(4x)=4x+o(x)$
$e^x=1+x+o(x)$
$sin(4x)=4x+o(x)$
... ma de Hopital è stato messo all'indice?
"MaMo":
Riscrivendolo così:
$lim_(x->0)1/4*((e^x-1)/x)*((4x)/sin(4x))$
dovrebbe essere molto semplice...
La soluzione di MaMo è la migliore:
semplice e diretta.
con le asintoticità la risoluzione dei limiti (apparentemente complessi) diventa molto semplice ma spesso i prof non la spiegano (soprattutto matematici di nuovo stampo) ...$e^(x)-1$ è asintotico ad x mentre $sen(4x)$ è asintotico a 4x per cui il risultato è $1/4$....
Credo che come ha fatto MaMo sia molto didattico:
uno studente deve iniziare a saper applicare correttamente ed opportunamente i vari limiti "notevoli".
uno studente deve iniziare a saper applicare correttamente ed opportunamente i vari limiti "notevoli".
questi limiti sono "notevoli" soltanto perchè ce li fanno imparare a memoria... chè utilità ha imparare a fare questi limiti "notevoli"?
"tommyr89":....molti prof li dimostrano ...quindi in ogni caso c'è del ragionamento....poi spesso anche nell'applicare un determinato limite notevole od un altro può essere richiesto un minimo di ragionamento.. (parere personale)
questi limiti sono "notevoli" soltanto perchè ce li fanno imparare a memoria... chè utilità ha imparare a fare questi limiti "notevoli"?
Su questo si potrebbe innescare una discussione infinita.
Mi limito a considerare un solo limite (scusate il bisticcio...).
Supponiamo di voler considerare l'arcinoto limite
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
(che, come noto, esiste finito e vale $1$).
Immagino che (quasi) tutti abbiano visto come si calcola questo limite, utilizzando un confronto geometrico di aree e il criterio del confronto per i limiti.
Una volta che però uno conosce la regola di l'Hopital, tipicamente si chiede: "Ma a che mi serve conoscere quella dimostrazione geometrica, dal momento che mi basta calcolare il limite del rapporto delle derivate?".
Basterebbe a questo punto chiedersi come si calcola la derivata della funzione $\sin x$, per rendersi conto che si tratta di un argomento circolare...
Per concludere, i limiti "notevoli" vengono calcolati una tantum, e poi tipicamente si richiede che vengano ricordati a memoria per evitare di doverli ridimostrare ogni volta.
Mi limito a considerare un solo limite (scusate il bisticcio...).
Supponiamo di voler considerare l'arcinoto limite
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
(che, come noto, esiste finito e vale $1$).
Immagino che (quasi) tutti abbiano visto come si calcola questo limite, utilizzando un confronto geometrico di aree e il criterio del confronto per i limiti.
Una volta che però uno conosce la regola di l'Hopital, tipicamente si chiede: "Ma a che mi serve conoscere quella dimostrazione geometrica, dal momento che mi basta calcolare il limite del rapporto delle derivate?".
Basterebbe a questo punto chiedersi come si calcola la derivata della funzione $\sin x$, per rendersi conto che si tratta di un argomento circolare...
Per concludere, i limiti "notevoli" vengono calcolati una tantum, e poi tipicamente si richiede che vengano ricordati a memoria per evitare di doverli ridimostrare ogni volta.
"tommyr89":
questi limiti sono "notevoli" soltanto perchè ce li fanno imparare a memoria... chè utilità ha imparare a fare questi limiti "notevoli"?
Spero vivamente che tu non sia uno studente di matematica.
Alcuni limiti notevoli vanno risolti in modo particolare, magari con una dimostrazione algebrica o geometrica e con l'uso del teorema del confronto, perché ci servono per dimostrare le formule di derivazione.
Ora calcolarli ricorrendo alle derivate (L'Hospital o Taylor) è come dimostrare A usando B e dimostrare B usando A.
"gac":
Basterebbe a questo punto chiedersi come si calcola la derivata della funzione $\sin x$, per rendersi conto che si tratta di un argomento circolare...
Petizione di principio.
OT:
La stessa cosa mi viene in mente riguardo Rolle, Lagrange, Cauchy.
Uno potrebbe pensare che se si conosce il risultato del teorema di Cauchy, Rolle e Lagrange si possono dimostrare come casi particolari. Tuttavia la dimostrazione del th di Cauchy che solitamente si studia fa uso del teorema di Rolle.
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