Limite che non esiste !?

[LucaC1]

$lim_(x->0) (1+x^3)^[1/((x^4+1)^4-1)]$



$lim_(x->0) (1+x^3)^(1/x^3)=\e\$
{3}


$lim_(x->0) \e\ ^ [x^3/((x^4+1)^4-1)]$

$lim_(x->0) \e\ ^ {x^3/[[((x^4+1)^4-1)/(x^4)](x^4)]}= \e\ ^(1/(4x))=\e\^(infty)=infty$

io ho risolto cosi questo limite ma non è corretto per il risultato è che il limite non esiste .
qualcuno può spiegarmi gentilmente come viene questo esercizio e come fare per vedere se un limite non esiste ??? grazie infinite !

[jitter1]

Ciao. Secondo me è perché per x < 0 (quindi per il limite a $0^-$) l'esponente di $e$ è infinito negativo, quindi il limite sinistro è 0, mentre il limite destro è infinito.

[dissonance]

[xdom="dissonance"]Oiè! Cos'è quel MAIUSCOLO nel titolo? Eliminalo al più presto usando il pulsante MODIFICA, per favore. Vedi regolamento regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html[/xdom]

[Plepp]

"jitter":Ciao. Secondo me è perché per x < 0 (quindi per il limite a $0^-$) l'esponente di $e$ è infinito negativo, quindi il limite sinistro è 0, mentre il limite destro è infinito.

Esattamente. Non capisco perchè si continui a credere che $[1/0]=\infty$...bah...(non mi rivolgo solo a te Luca, è una convinzione che la maggior parte degli studenti si porta dietro dal liceo e che spesso difficilmente riesce a perdere).

Come dice jitter, data una qualsiasi $f:X\subseteq RR \to RR$ e $c\in \mathcal{D}X$, si ha che
\[\exists \lim_{x\to c}f(x)=L\iff \exists \lim_{x\to c^+}f(x)=L \wedge \exists \lim_{x\to c^-}f(x)=L\]
Quindi, una volta per tutte, possiamo affermare che
\[\nexists \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\]
in quanto
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\neq \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty\]
Nel tuo caso, LucaC, hai
\[\lim_{x\to 0^+}e^{1/4x}=[e^{+\infty}]=+\infty\]
mentre
\[\lim_{x\to 0^-}e^{1/4x}=[e^{-\infty}]=0\]
e dal momento che i due limiti sono diversi, il limite "da entrambi i lati" non esiste.

Ciao

Giuseppe

[robe921]

Questo vale per qualsiasi punto di discontinuità no? Per questo si fanno tendere i limiti "a destra" e/o "a sinistra" della frontiera dell'insieme di definizione

[Plepp]

"robe92":Per questo si fanno tendere i limiti "a destra" e/o "a sinistra" della frontiera dell'insieme di definizione

Halt non è detto che tu possa calcolare il limite per $x$ che tende a un certo $c$ che è punto di frontiera per $X$.
Esempio. Mettiamo che, un giorno, mi alzo, "impazzisco", e definisco una funzione così:
\[f:X\to \mathbb{R}\qquad f:x\mapsto x\]
dove (attenzione)
\[X=[0,1)\cup \{2\}\]
La frontiera di $X$ è $Fr(X)=\{0,1,2\}$. Però, dei tre elementi di $Fr(X)$ solo $0$ e $1$ sono di accumulazione per $X$ (intuitivamente, questo vuol dire che mi ci posso "avvicinare" - posso far tendere $x$ a quei punti - senza mai uscire da $X$). La stessa cosa non vale per il punto $x=2$.
In sostanza: l'importante, affinchè sia lecito calcolare il limite per $x\to$ un certo $c$, è che questo $c$ sia di accumulazione per $X$. Questo per definizione di limite.

Quindi, anzichè dire che si calcolano i limiti alla frontiera di $X$, potremmo dire (anche se impropriamente, volendo essere proprio pignoli) che si calcano i limiti agli estremi del dominio $X$.

Quanto alla prima domanda:

"robe92":Questo vale per qualsiasi punto di discontinuità no?

Avrai capito che questo discorso vale per qualsiasi punto che sia di accumulazione per $X$, quindi anche per i punti di discontinuità (che ci possono essere (anche) in quei punti che non appartengono ad $X$ ma sono comunque di accumulazione).