Limite che mi sta facendo impazzire

[crissstian96]

Sono letteralmente ore che sto cercando di risolvere un limite, pescato a caso tra i vecchi esami del mio professore:
$\lim_{x \to \infty} x(e^(-1/(1-|x|))-1)$
Il limite si riconduce ad una forma indeterminata $0*oo$ dalla quale non riesco a venirne fuori.
Ho provato a trasformare la funzione, fare il minimo comune multiplo, ricondurla ad un limite notevole (l'unico che ci somiglia è $(e^(f(x)) + 1)/f(x)$ ma è impossibile portarlo in questa forma) e infine ho provato a trasformarlo in una frazione, in una decina di modi diversi, per poi applicare De l'Hopital, ma in nessun caso sono mai riuscito a risolvere il limite, e direi che dopo tutti i tentativi sono giunto alla conclusione che questa non è la strada da perseguire, poiché facendo la derivate dell'esponenziale si ottiene un altro esponenziale e altri valori assoluti, che non sono semplificabili.
Non so più dove sbattere la testa, non so se mi è sfuggito qualche metodo, qualche idea?

[donald_zeka]

$-1/(1-x)=t$

[crissstian96]

"TeM":Molto semplicemente, si ha \[ \begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x\left(e^{-\frac{1}{1 - |x|}} - 1\right) & = \lim_{x \to +\infty} x\left(e^{\frac{1}{x - 1}} - 1\right) \\ & = \lim_{u \to +\infty} (u + 1)\left(e^{\frac{1}{u}} - 1\right) \\ & = \lim_{u \to +\infty} \left(e^{\frac{1}{u}} - 1\right) + \lim_{u \to +\infty} u\left(e^{\frac{1}{u}} - 1\right) \\ & = 0 + \lim_{u \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{\frac{1}{u}} \\ & = \lim_{v \to 0^+} \frac{e^v - 1}{v} \\ & = 1 \; . \end{aligned} \] Tutto qui.

Grazie mille per la risposta ad entrambi, velocissimi.
Comunque mi sfugge qualcosa, non so se magari dobbiamo ancora studiarlo ma il capitolo limiti dovremmo averlo concluso.
Com'è possibile che il valore assoluto venga tolto così facilmente? Non capisco come si possa passare da $e^(-1/(1-|x|))$ a $e^(1/(x-1))$
Grazie ancora
___
Edit: Forse perché il limite tende a $+oo$ dunque non ci importa nulla di ciò che sta a sinistra dello zero? Sì ha senso, ma non mi era mai capitato di dover fare ragionamenti del genere, non ci sarei mai arrivato

[donald_zeka]

Tu hai scritto $lim_(x->oo)$, in questo caso, quando non specifichi il segno, devi fare il caso $+oo$ e $-oo$, quello risolto da noi è solo il caso $+oo$, da cui segue che il valore assoluto di $x$ è $x$ stesso, mentre per il caso opposto hai che il valore assoluto di $x$ è $-x$, il limite in questo caso, se provi a farlo, fa $-1$