Limite carino. Chi vuole cimentarsi?

[salvozungri]

Ciao a tutti, vorrei proporre un limite simpatico, indirizzato a coloro che stanno studiando analisi.

•Determinare il limite:

[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(1+2^n +\cdots +n^n)^{\frac{1}{n}}}{n}[/tex]

(Piccola annotazione: Un mio amico mi ha inviato l'esercizio qualche minuto fa, non sono a conoscenza della fonte dell'esercizio)

[Seneca1]

Mi sembra molto semplice...

$lim_(n -> oo) [ n^n ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 ) ]^(1/n)/n$

$lim_(n -> oo) ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 )^(1/n) = 1$

Sbaglio?

[salvozungri]

"Seneca":Mi sembra molto semplice...

$lim_(n -> oo) [ n^n ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 ) ]^(1/n)/n$

$lim_(n -> oo) ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 )^(1/n) = 1$

Sbaglio?

Mmm

Il limite è 1, cerca di giustificare meglio il secondo limite .
Ad ogni modo ho in mente un'altra strada, prova a vedere se riesci a risolverlo con delle maggiorazioni e minorazioni. PS: l'esercizio non è per niente difficile, però mi piaceva la soluzione per questo l'ho postato

[Edit]:Devo lasciare il computer a mia sorella, quindi non sarò in linea e probabilmente tornerò qui tra un paio di giorni... Scusatemi

[Seneca1]

Raccolgo l'infinito di ordine maggiore tra gli infiniti in parentesi:

$lim_(n -> oo) [ n^n ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 ) ]^(1/n)/n$

$lim_(n -> oo) n*( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 )^(1/n)/n

$lim_(n -> oo) ( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 )^(1/n)$

Poiché $"Ord"_(oo) (n - 1)^n < "Ord"_(oo) n^n$ , $( 1/(n^n) + 2^n/n^n + ... + 1 ) -> 1$ per $n -> oo$.

Quindi il limite è $1$.

Semplice così, no?

[gugo82]

@Seneca: il problema è che il numero di addendi tra parentesi va via via aumentando al crescere di [tex]$n$[/tex], quindi mettere in evidenza [tex]$n^n$[/tex] (come infinito d'ordine maggiore) non è un passaggio lecito.

Una risoluzione corretta, ad esempio, passa per il teorema dei carabinieri.

[Seneca1]

"gugo82":@Seneca: il problema è che il numero di addendi tra parentesi va via via aumentando al crescere di [tex]$n$[/tex], quindi mettere in evidenza [tex]$n^n$[/tex] (come infinito d'ordine maggiore) non è un passaggio lecito.

Una risoluzione corretta, ad esempio, passa per il teorema dei carabinieri.

Grazie della correzione.