Limite bastardo

[jJjjJ1]

Vorrei una mano a risolvere sto limite di successione:

$lim_{n to +infty} sin(4n arctg(n)) $

Non mi viene in mente molto, è un limite di successione e penso proprio che esista, quindi o provo per assurdo ( assumo che esistano due sottosuccessioni che tendano a limiti diversi e arrivo all'assurdo, ma non ci riesco ). Oppure mi viene in mente un modo, ma mi pare molto inappropriato:

$a_n = sin( 4n arctg(n) ) = - sin( 2n\Pi - 4n arctg(n) ) $ per la periodicià del seno

Allora studio $ lim_{n to +infty} 2n\Pi - 4n arctg(n) $ Se riuscissi a risolverlo così non ci sarebbe problema, però non riesco a risolverlo senza invocare il teorema di Collegamento e andare a risolvere con l'Hopital il limite di funzione:

$ lim_{x to +infty} 2x\Pi - 4x arctg( x ) = 4$

Idee?

[ciampax]

$\lim_{n\to+\infty}\arctan n=\pi/2$...

[jJjjJ1]

Si questo lo so Però anche non posso certo dire che $lim_{n to +infty} 4n arctg(\frac{\Pi}{2}) = 4n \frac{\Pi}{2} $ Perché il limite lo devo calcolare tutto insieme, e quindi è infinito...

[Rigel1]

Può essere utile usare l'identità
\[
\arctan (x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{x}\right),\qquad \forall x > 0.
\]
Hai che
\[
\sin(4n\arctan n) = \sin\left[4n\left(\frac{\pi}{2} - \arctan\frac{1}{n}\right)\right]
= -\sin\left(4n\arctan \frac{1}{n}\right) \sim - \sin\left(4n \frac{1}{n}\right) = -\sin 4.
\]