Limite banale - Conferma

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti.

Vorrei chiedere conferma circa il calcolo di un limite che mi lascia lievemente perplesso.
Vorrei infatti calcolare \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{k}}} \), il quale presenta una forma indeterminata del tipo \(\displaystyle 0^{0} \). Ho già dimostrato che \[\displaystyle \lim_{n \rightarrow+ \infty} \sqrt[n]{p}=1 \quad \forall \ p\gt 0 \] con \(\displaystyle p \) reale, e che \[\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt[n]{n^{p}}=1 \quad \forall \ p \gt 0 \]

Posso quindi concludere che \[\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{k}}} = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{n^{k}}}=1\]???

[Seneca1]

Sì, certo. Cosa ti lasciava perplesso?

[Sk_Anonymous]

Diciamo che per un istante ho trovato "strano" che le successioni \(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{n^{k}}} \) e \(\displaystyle \sqrt[n]{n^{k}} \) convergessero allo stesso limite, al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito.

Grazie Seneca!

[dissonance]

E' tutta colpa dell'esponente \(1/n\). Ha un grosso effetto livellante che schiaccia su \(1\) tutte le successioni che non sono infinite o infinitesime di ordine almeno esponenziale.

[yellow2]

Tra l'altro, se non è esplicitato che $k$ è maggiore di $0$, scriverlo nei due modi è davvero indifferente.