Limite Analisi
Buonasera. Mi trovo davanti a questo limite che proprio non riesco a risolvere:
$lim x->+∞ : [e^arctan(1/t) -e^(1/t)]*[t^4 -(t+1)^4]$. La forma indeterminata è $0*(∞-∞)$. Ho provato a sostituire la t con x, ma non si arriva a niente di proficuo, ho provato con i limiti notevoli ma niente, ho anche provato a prendere separatamente il secondo membro e a scomporlo, ma si arriva a $0*∞$. Mi rimane da provare solo Taylor, ma credo sia un calcolo proibitivo data la presenza di $t^4$. Potreste aiutarmi?
$lim x->+∞ : [e^arctan(1/t) -e^(1/t)]*[t^4 -(t+1)^4]$. La forma indeterminata è $0*(∞-∞)$. Ho provato a sostituire la t con x, ma non si arriva a niente di proficuo, ho provato con i limiti notevoli ma niente, ho anche provato a prendere separatamente il secondo membro e a scomporlo, ma si arriva a $0*∞$. Mi rimane da provare solo Taylor, ma credo sia un calcolo proibitivo data la presenza di $t^4$. Potreste aiutarmi?
Risposte
Puoi usare i cosiddetti "sviluppini"...
$arctan(x) = x- x^3/3+ ....$.
Quindi
$ e^arctan(1/t) -e^(1/t) = $
$ e^{1/t - 1/{3t^3} + ...} - e^{1/t} = $
$ e^{1/t} (e^{ - 1/{3t^3} + ...}-1)$
Poi
$e^x = 1+x+...$
Riprendiamo...
$ e^{1/t} (e^{ - 1/{3t^3} + ...}-1) = $
$ e^{1/t} (- 1/{3t^3}+... ) $
L'altro fattore....
$[t^4 -(t+1)^4] = $
$ - 4t^3 + .... $
Ricombinando tutto...
$ lim_{t->+oo} e^{1/t} (- 1/{3t^3}+... ) (- 4t^3 + ....) = 4/3$
$arctan(x) = x- x^3/3+ ....$.
Quindi
$ e^arctan(1/t) -e^(1/t) = $
$ e^{1/t - 1/{3t^3} + ...} - e^{1/t} = $
$ e^{1/t} (e^{ - 1/{3t^3} + ...}-1)$
Poi
$e^x = 1+x+...$
Riprendiamo...
$ e^{1/t} (e^{ - 1/{3t^3} + ...}-1) = $
$ e^{1/t} (- 1/{3t^3}+... ) $
L'altro fattore....
$[t^4 -(t+1)^4] = $
$ - 4t^3 + .... $
Ricombinando tutto...
$ lim_{t->+oo} e^{1/t} (- 1/{3t^3}+... ) (- 4t^3 + ....) = 4/3$
Grazie! Quindi, volendo svolgere i calcoli, basta limitarsi al grado successivo al primo per quanto riguarda l'arcotangente, e al primo per quanto riguarda l'esponenziale, tanto ci si riconduce comunque all'unico fattore utile $-1/(3t^3)$ per via del o piccolo che ingloba tutti i valori enormi e complessi che vengono dopo, giusto?
Prego.
Non e' detto che basta limitarsi al grado successivo al primo. Dipende dall'esercizio.
Si possono fare alcune considerazioni.
Si puo' iniziare considerando solo un paio di termini, se poi la forma indeterminata persiste si considerano altri fattori e cosi' via.
Essendoci a destra un $t^3$, l'esercizio probabilmente ha come scopo eliminare una forma indeterminata, (ma non e' detto). Quindi a sinistra si puo' congetturare che compaia un $1/t^3$ e che sia sufficiente quindi.
Infine, trattandosi di un esercizio scolastico appunto, e' facile che non ti facciano impazzire con mille termini, ma ci si limita ad un paio.
Diciamo che "ad occhio" bisognerebbe sbrogliare le parti piu' immediate, tipo il $t^3$ a destra, e da li sperare che nel resto dell'espressione risulti fuori quello che ci si puo' aspettare...
Non e' detto che basta limitarsi al grado successivo al primo. Dipende dall'esercizio.
Si possono fare alcune considerazioni.
Si puo' iniziare considerando solo un paio di termini, se poi la forma indeterminata persiste si considerano altri fattori e cosi' via.
Essendoci a destra un $t^3$, l'esercizio probabilmente ha come scopo eliminare una forma indeterminata, (ma non e' detto). Quindi a sinistra si puo' congetturare che compaia un $1/t^3$ e che sia sufficiente quindi.
Infine, trattandosi di un esercizio scolastico appunto, e' facile che non ti facciano impazzire con mille termini, ma ci si limita ad un paio.
Diciamo che "ad occhio" bisognerebbe sbrogliare le parti piu' immediate, tipo il $t^3$ a destra, e da li sperare che nel resto dell'espressione risulti fuori quello che ci si puo' aspettare...
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