Limite Analisi

[Dyelo]

Buongiorno, innanzi tutto tanti auguri.
Sono alle prese con un limite tratto da un testo d'esame: $lim x->0$ $(2(-1+sqrt(1+x^2))*(1-e^x)+x^3)/((e^x)^2 +2cosx -3)$. Ho provato a risolverlo con i limiti notevoli, ma si arriva inevitabilmente al numeratore che si annulla a 0, e quindi non è assolutamente utilizzabile come tecnica. Credo che de l'Hopital sia troppo complicato e lungo da fare. L'alternativa a cui avevo pensato era usare gli sviluppi di Taylor, ma i termini di radice e di $(e^x)^2$ mi mettono un po' in difficoltà. Potreste aiutarmi per favore?

[LoreT314]

Si, direi che puoi usare gli sviluppi. I termini dominanti si cancellano quindi devi sviluppare almeno al secondo ordine.
Per $-1+sqrt(1+x^2)$ puoi ricordare lo sviluppo di $(1+x)^a-1$ per $x->0$
Mentre per $(e^x) ^2$ non ti devi preoccupare, è semplicemente $e^(2x)$ quindi puoi usare lo sviluppo di $e^x$ facendo una innocua sostituzione.

[Dyelo]

Sono arrivato a fare lo sviluppo fino al quarto ordine, mi viene 0, quando dovrebbe venirmi -6/7. Sicuramente sbaglio qualcosa nell'impostare gli sviluppi di Taylor, in particolare per quanto riguarda $(1+x^2)^(1/2)$. Essendo $x^2$ devo sostituire ad ogni fattore dello sviluppo di $(1+x)^a$, $x^2$ ad $x$?

[Dyelo]

E poi, svolgendo come mi hai detto tu la serie di $(e^x)^2$ come $e^(2x)$, viene 0. Se invece la sviluppo come $(e^x)^2$, viene -1/2. Non saprei proprio..

[pilloeffe]

Ciao sguonza,

Buon Natale!

Innanzitutto a me il limite che hai proposto risulta proprio $0$:

$\lim_{x \to 0}(2(-1+sqrt(1+x^2))(1-e^x)+x^3)/((e^x)^2 +2cosx -3) = 0 $

Anche se non farai uso dei limiti notevoli, lo predisporrei come se dovessi usarli, che comunque è comodo anche per gli sviluppi in serie...
In particolare lo scriverei nel modo seguente:

$\lim_{x \to 0}(2(-1+sqrt(1+x^2))(1-e^x)+x^3)/((e^x)^2 +2cosx -3) = \lim_{x \to 0}(-2(sqrt(1+x^2) - 1)(e^x - 1)+x^3)/((e^x)^2 - 1 -2(1 - cosx)) = $
$ = \lim_{x \to 0}(-2(\frac{sqrt(1+x^2) - 1}{x^2})\frac{e^x - 1}{x}+1)/(\frac{(e^x)^2 - 1}{x^3} -2\frac{1 - cosx}{x^3}) $

[LoreT314]

Anche io trovo 0, il testo sei sicuro sia corretto?
Si comunque si, lo sviluppo è
$(1+x^2)^(1/2)=1/2x^2-1/8x^4+o(x^4)$
Come hai fatto a sviluppare $(e^x) ^2$?

[Dyelo]

Mi è venuto: -6/7. Il procedimento è $(-2((1/2)*x^2 -(1/8)*x^4 +1-1 +o(x^4))(x+(x^2)/2 +(x^3)/6 +(x^4)/24 +1-1 +o(x^4)) +x^3)/(1+x^2 +(x^4)/2 +2 -x^2 +(x^4)/12 -3 +o(x^4))$. Da qui in poi sono normali calcoli che portano al risultato finale

[Mephlip]

Lo sviluppo del denominatore è sbagliato, hai che
$$(e^x)^2+2\cos x-3=(1+x+\text{o}(x))^2+2\left(1-\frac{1}{2}x^2+\text{o}(x^2)\right)-3=$$
$$=1+x^2+2x+\text{o}(x^2)+2-x^2+\text{o}(x^2)-3=2x+\text{o}(x).$$
Sembra che tu abbia sviluppato erroneamente $e^{x^2}$ al posto di $(e^x)^2$, oppure hai riportato male il testo ed è $e^{x^2}$ nel testo, oppure ancora pensi che $e^{x^2}=(e^x)^2$ (quest'ultima uguaglianza è falsa, basta prendere $x=1$ per convincersene).
Confermo che anche a me il limite risulta $0$.