Limite ambiguo
Buonasera,
Ho un limite strano da proporre.
Apparentemente sembra non destare grandi problemi, la cosa strana è se lo provo a risolvere con i limiti notevoli mi viene -1/2, mentre se lo risolvo con Taylor mi viene 0. Tramite un calcolatore online ho visto che il risultato corretto dovrebbe essere proprio 0.
Quello che mi chiedo è come sia possibile che mi vengano due risultati distinti e finiti.
In cosa sbaglio? Vi prego aiutatemi, tra pochi giorni ho l'esame e mi sembra assurdo trovarmi davanti a questa ambiguità.
$ lim_(x -> 0)(senx-log(x+1)-(x^2)/2)/(tanx(e^x-1) $
Ho un limite strano da proporre.
Apparentemente sembra non destare grandi problemi, la cosa strana è se lo provo a risolvere con i limiti notevoli mi viene -1/2, mentre se lo risolvo con Taylor mi viene 0. Tramite un calcolatore online ho visto che il risultato corretto dovrebbe essere proprio 0.
Quello che mi chiedo è come sia possibile che mi vengano due risultati distinti e finiti.
In cosa sbaglio? Vi prego aiutatemi, tra pochi giorni ho l'esame e mi sembra assurdo trovarmi davanti a questa ambiguità.
$ lim_(x -> 0)(senx-log(x+1)-(x^2)/2)/(tanx(e^x-1) $
Risposte
Questo è il mio procedimento con i limiti notevoli. In cosa sbaglio?
Non puoi utilizzare gli asintotici in quel modo. Ti conviene fare così:
\[ \lim_{ x \to 0} {\frac{ \sin(x) - \ln (1 + x) - \frac{x^2}{2}}{\tan (x) \cdot (e^x - 1)}} =- \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} {\frac{\sin(x) - \ln(1 + x)}{x^2}} \]
(utilizzando correttamente le regole degli asintotici sul denominatore)
A questo punto, usando Taylor:
\[ \sin (x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \]
\[ \ln(x + 1) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]
\[ \implies - \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} { \frac{\cancel{x} - \frac{x^3}{6} \cancel{- x} + \frac{x^2}{2} \cancel{- o(x^3)} + o(x^2)}{x^2}} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]
\[ \lim_{ x \to 0} {\frac{ \sin(x) - \ln (1 + x) - \frac{x^2}{2}}{\tan (x) \cdot (e^x - 1)}} =- \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} {\frac{\sin(x) - \ln(1 + x)}{x^2}} \]
(utilizzando correttamente le regole degli asintotici sul denominatore)
A questo punto, usando Taylor:
\[ \sin (x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \]
\[ \ln(x + 1) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]
\[ \implies - \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} { \frac{\cancel{x} - \frac{x^3}{6} \cancel{- x} + \frac{x^2}{2} \cancel{- o(x^3)} + o(x^2)}{x^2}} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]
Ti ringrazio, ma non ho capito perché non posso usare gli asintotici al numeratore
L'esempio classico è
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} \]
Se gli asintotici si potessero usare come dici tu, allora risulterebbe che il limite è $0$. Ed invece non è così. La spiegazione è molto semplice e va cercata nella definizione di asintotico:
\[ f(x) \sim g(x), \ x \to x_0 \]
se il limite
\[\lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \]
L'asintoticità è più debole dell'uguaglianza, quindi non va usata come se lo fosse. L'interpretazione corretta è la seguente:
Date due funzioni $f(x), g(x)$, asintotiche per $x \to x_=$, possiamo affermare che
\[ \lim_{ x \to x_0} {f(x)} = \lim_{x \to x_0} { \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)} = 1 \cdot \lim_{x \to x_0}{g(x)} \]
In parole povere, si possono usare gli asintotici solo con i prodotti, perchè la loro applicazione si basa completamente sul prodotto fra limiti. Se provassi ad applicare, questa volta correttamente, gli asintotici a
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} \]
otterresti un'altra forma indeterminata, poichè
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} = \lim_{x \to 0} {\frac{x \cdot \frac{\sin(x)}{x} - x}{x^3}} = \frac{ 0 \cdot 1 - 0}{0} = \frac{0}{0} \]
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} \]
Se gli asintotici si potessero usare come dici tu, allora risulterebbe che il limite è $0$. Ed invece non è così. La spiegazione è molto semplice e va cercata nella definizione di asintotico:
\[ f(x) \sim g(x), \ x \to x_0 \]
se il limite
\[\lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \]
L'asintoticità è più debole dell'uguaglianza, quindi non va usata come se lo fosse. L'interpretazione corretta è la seguente:
Date due funzioni $f(x), g(x)$, asintotiche per $x \to x_=$, possiamo affermare che
\[ \lim_{ x \to x_0} {f(x)} = \lim_{x \to x_0} { \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)} = 1 \cdot \lim_{x \to x_0}{g(x)} \]
In parole povere, si possono usare gli asintotici solo con i prodotti, perchè la loro applicazione si basa completamente sul prodotto fra limiti. Se provassi ad applicare, questa volta correttamente, gli asintotici a
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} \]
otterresti un'altra forma indeterminata, poichè
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \sin(x) - x}{x^3}} = \lim_{x \to 0} {\frac{x \cdot \frac{\sin(x)}{x} - x}{x^3}} = \frac{ 0 \cdot 1 - 0}{0} = \frac{0}{0} \]
A me sembra al numeratore di aver applicato gli asintotici come li hai applicati tu nell'ultimo esempio.
Scusa se continuo a non capire... ma mi sto un attimo agitando...
Quindi non posso usare i limiti notevoli con le somme o differenze ma solo con i prodotti?
Scusa se continuo a non capire... ma mi sto un attimo agitando...
Quindi non posso usare i limiti notevoli con le somme o differenze ma solo con i prodotti?
Ci ho ragionato e ho capito cosa intendevi 
grazie!
grazie!
al denominatore puoi tranquillamente applicare i limiti notevoli tanx$=$ x, e^x-1 $=$ x, x*x= x^2, al numeratore non puoi applicare i limiti notevoli in quanto il primo termine si annulla quindi devi ricorrere alle serie di taylor senx $=$ x- (1/6) x^3, log(x+1) $=$ x-1/2 x^2, quindi ottieni x - 1/6 x^3-x+ 1/2x^2 - 1/2 x^2, rimane 1/6 x^3 / x^2= 1/6 x, che per 0 è 0....
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