Limite ambiguo
dovendo studiare $ f(x)=ln(e^(2x)-4e^x+4) $ quando arrivo a dover cercare eventuali asintoti obliqui e svolgere quindi $ lim_(x -> +oo) f(x)/x = lim_(x ->+oo) ln(e^(2x)-4e^x+4)/x $ verrebbe naturale dire che essendo x un infinito di ordine maggiore del logaritmo il limite è 0.
Tuttavia svolgendo $ lim_(x ->+oo) ln(e^(2x)-4e^x+4)/x = lim_(x ->+oo) (2x + ln(1-4e^-x + e^(-2x)))/x = 2 $
Qual è quello giusto? e come capire quando si hanno due alternative così che sembrano entrambe giuste qual è quella effettivamente giusta?
Tuttavia svolgendo $ lim_(x ->+oo) ln(e^(2x)-4e^x+4)/x = lim_(x ->+oo) (2x + ln(1-4e^-x + e^(-2x)))/x = 2 $
Qual è quello giusto? e come capire quando si hanno due alternative così che sembrano entrambe giuste qual è quella effettivamente giusta?
Risposte
Beh, non è corretto il primo ragionamento, ti trovi in una forma indeterminata, dentro al logaritmo hai $e^(2x)-4e^x+4$ che per $x->+oo$ tende a $+oo$.
Il limite è $2$, è come fare in modo equivalente, trascurando gli infiniti di ordine inferiore a numeratore, $lim_(x->infty)(log(e^(2x)) /x)=lim_(x->infty)(2x/x)=2$, quindi, svolgendo il limite, la funzione risultante a numeratore alla fine non è logaritmica, ma è una funzione di ordine di infinito uguale a quella del denominatore, pertanto il limite è finito!
Infatti anche nella seconda espressione del limite che hai scritto, si ha $lim_(x->infty)(2x+ln(1-4e^(-x)+e^(-2x))/x)=lim_(x->infty)(2x/x)+lim_(x->infty)ln(1-4e^(-x)+e^(-2x))/x=2+ln(1-0+0)/infty=2+0/infty=2+0=2$,
in definitiva scrivere $log(e^(2x))$ è come scrivere la funzione $2x$.
Saluti!
Infatti anche nella seconda espressione del limite che hai scritto, si ha $lim_(x->infty)(2x+ln(1-4e^(-x)+e^(-2x))/x)=lim_(x->infty)(2x/x)+lim_(x->infty)ln(1-4e^(-x)+e^(-2x))/x=2+ln(1-0+0)/infty=2+0/infty=2+0=2$,
in definitiva scrivere $log(e^(2x))$ è come scrivere la funzione $2x$.
Saluti!
potrebbe essere utile notare che $e^2x-4e^x+4=(e^x-2)^2$?
Cambia poco, la funzione diventa $(2log(e^x-2))/x$ , e considerando l'unico infinito presente a numeratore, si ha $lim_(x->infty)(2log(e^x))/x=lim_(x->infty)(2x/x)=2$, in quanto $(log_e)(e^x)=x$
"Obidream":
Beh, non è corretto il primo ragionamento, ti trovi in una forma indeterminata, dentro al logaritmo hai $e^(2x)-4e^x+4$ che per $x->+oo$ tende a $+oo$.
Il fatto che sia una forma indeterminata in sé se non sbaglio non impedisce di stabilire un risultato secondo la gerarchia degli infiniti o sbaglio? Nel senso avendo $ lim_(x -> +oo) lnx/x = 0 $ anche se $ lim_(x -> +oo) lnx= +oo $ e $ lim_(x -> +oo) x= +oo $ allora $ lim_(x -> +oo) lnx/x $ dovrebbe anch'essa essere indeterminata invece non lo è e tende a zero.
Il punto allora è perché questo ragionamento non è trasferibile al mio limite? Se ho capito bene per il fatto che quel numeratore sembra un logaritmo, ma di fatto non è un logaritmo, e cresce velocemente quanto una retta, ho capito bene?
Potrebbe giovare notare che con qualche facile passaggio si può scrivere: $f(x)=2x+2ln|1-2/e^x|$.
EDIT: ho visto soltanto dopo aver scritto che di fatto è l'espressione usata da Usernamer nel calcolo (corretto).
EDIT: ho visto soltanto dopo aver scritto che di fatto è l'espressione usata da Usernamer nel calcolo (corretto).
"Usernamer":
... Nel senso avendo $ lim_(x -> +oo) lnx/x = 0 $ anche se $ lim_(x -> +oo) lnx= +oo $ e $ lim_(x -> +oo) x= +oo $ allora $ lim_(x -> +oo) lnx/x $ dovrebbe anch'essa essere indeterminata invece non lo è e tende a zero.
Il punto allora è perché questo ragionamento non è trasferibile al mio limite?
No, un attimo ... tu non hai $lim_(x+infty) ln(x)/x$ ma $lim_(x+infty) ln(f(x))/x$ che NON è la stessa roba ...
Cordialmente, Alex
P.S.: poi volendo si risolve velocemente anche con De L'Hopital ...
ok quindi il mio ragionamento iniziale basato sulla gerarchia degli infiniti sarebbe corretto se anziché $ lim_(x -> +oo)lnf(x)/x $ avessi $ lim_(x -> +oo)lnf(x)/f(x) $ ?
Cioè la gerarchia degli infiniti è applicabile solo quando ciò che (passatemi il termine) è contenuto nella porzione di limite tendente a infinito tende all'infinito con la stessa "velocità"?
(In questo caso ad esempio la porzione di limite tendente a infinito era l'argomento del logaritmo e il denominatore. Allora se l'argomento del logaritmo e il denominatore tendessero a infinito con lo stesso ordine potrei applicare la gerarchia, altrimenti no?) È sostanzialmente questo l'errore che ho fatto, ho capito bene?
Cioè la gerarchia degli infiniti è applicabile solo quando ciò che (passatemi il termine) è contenuto nella porzione di limite tendente a infinito tende all'infinito con la stessa "velocità"?
(In questo caso ad esempio la porzione di limite tendente a infinito era l'argomento del logaritmo e il denominatore. Allora se l'argomento del logaritmo e il denominatore tendessero a infinito con lo stesso ordine potrei applicare la gerarchia, altrimenti no?) È sostanzialmente questo l'errore che ho fatto, ho capito bene?
Non ho ben capito cosa intendi, il problema però è questo: hai un limite del tipo $lim_(x->+oo) log(f(x))/x$ dove per $x->+oo$, $f(x) -> +oo $. Non puoi dire a priori che l'ordine di infinitesimo della $x$ al denominatore sia maggiore del numeratore, quindi non puoi concludere nulla.$ x->+oo $
Ad esempio se tu avessi $lim_(x->+oo) log(x^x)/x$ il risultato del limite sarebbe $+oo$
Ad esempio se tu avessi $lim_(x->+oo) log(x^x)/x$ il risultato del limite sarebbe $+oo$
x@ Usernamer.
Se ho ben capito, tu vuoi sapere che se si ha $lim_(x->infty)log(f(x))/(f(x))=infty/infty$ , forma indeterminata, allora $lim_(x->infty)log(f(x))/f(x)=0$ in quanto in generale, $log(f(x))$ risulterebbe un infinito di ordine inferiore ad $f(x)$, e quindi il limite va a zero, direi di si.
Ma nel caso da te riportato , la funzione argomento del logaritmo è diversa dalla funzione presente a denominatore, per cui la considerazione fatta sopra non è più valida, ad esempio $lim_(x->infty)(log(3^(x^2)))/x=lim_(x->infty)(x^2log3)/x=infty$
Se ho ben capito, tu vuoi sapere che se si ha $lim_(x->infty)log(f(x))/(f(x))=infty/infty$ , forma indeterminata, allora $lim_(x->infty)log(f(x))/f(x)=0$ in quanto in generale, $log(f(x))$ risulterebbe un infinito di ordine inferiore ad $f(x)$, e quindi il limite va a zero, direi di si.
Ma nel caso da te riportato , la funzione argomento del logaritmo è diversa dalla funzione presente a denominatore, per cui la considerazione fatta sopra non è più valida, ad esempio $lim_(x->infty)(log(3^(x^2)))/x=lim_(x->infty)(x^2log3)/x=infty$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo