Limite all'infinito, problema nell'usare de l'Hopital

[sine nomine1]

Buongiorno,
cercavo di risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> oo)e^x(2-x^(-1)*ln(e^(2x)+xe^(x-1))) $
ho provato nel seguente modo:
$ lim_(x -> oo)e^x(2-(ln(e^(2x)+xe^(x-1)))/x)= $
$ =lim_(x -> oo)(2x-ln(e^(2x)+xe^(x-1)))/e^(-x) $
ora da qui ho applicato de l'Hopital ottenendo:
$ =lim_(x -> oo)(3xe^(x-1)+e^(x-1))/-e^(-x) $
che dopo vari calcoli ho scoperto essere uguale a $ -oo $. Questo risultato però è sbagliato, perchè il limite iniziale dovrebbe risultare $ -1/e $. Ho sbagliato nell'applicare de l'Hopital? Se sì come mi suggerite di procedere?
Grazie in anticipo.

[Palliit]

Ciao.

Mi sembra che qui:

"sine nomine": $ lim_(x -> oo)e^x(2-(ln(e^(2x)+xe^(x-1)))/x)=lim_(x -> oo)(2x-ln(e^(2x)+xe^(x-1)))/e^(-x) $

tu ti sia mangiato una $x$ a denominatore.

[sine nomine1]

Cavolo che errore stupido, grazie mille!