Limite all'infinito con coseno
Buongiorno,
oggi mi sono imbattuto in questo limite e mi sono accorto di non sapere come si può operare su una funzione che oscilla come il coseno. In particolare il limite era questo:
$\lim_(x to +\infty) (x^2(1-cos x))/(x+5)^5$
Il problema è che proprio non so come comportarmi con il coseno. Dal momento che oscilla tra -1 e 1, significa che (1-cos x) oscilla tra 0 e -2 e nel caso raggiunga lo 0 si ha una forma indeterminata. Come si calcola un limite in questo caso?
oggi mi sono imbattuto in questo limite e mi sono accorto di non sapere come si può operare su una funzione che oscilla come il coseno. In particolare il limite era questo:
$\lim_(x to +\infty) (x^2(1-cos x))/(x+5)^5$
Il problema è che proprio non so come comportarmi con il coseno. Dal momento che oscilla tra -1 e 1, significa che (1-cos x) oscilla tra 0 e -2 e nel caso raggiunga lo 0 si ha una forma indeterminata. Come si calcola un limite in questo caso?
Risposte
Ciao,
in generale sfruttiamo uno dei corollari dei Teoremi del confronto per successioni, che ci dice che:
Se $(a_n)_n$ è una successione limitata e $(b_n)_n$ è infinitesima, allora $\lim_(n to \infty) a_n b_n = 0$
Ciò ti consente di trascurare del tutto, al limite, il termine limitato, venendo esso in questo caso "sopraffatto" da $x^2$.
$ (x^2(1-cos x))/(x+5)^5 ~_oo (x^2)/(x+5)^5 rarr_oo 0$
In alternativa, una volta che hai osservato come $ 0< 1-cos(x) < 2$, puoi sfruttare il teorema dei carabinieri: all'$oo$ (e in particolare $AAx > -5$), la funzione è sempre positiva. Allora vale:
$0< \lim_(x to \infty) (x^2(1-cos x))/(x+5)^5 < \lim_(x to \infty) (2*x^2)/(x+5)^5 = 0$
E quindi anche il tuo limite, quello centrale, tende a 0.
in generale sfruttiamo uno dei corollari dei Teoremi del confronto per successioni, che ci dice che:
Se $(a_n)_n$ è una successione limitata e $(b_n)_n$ è infinitesima, allora $\lim_(n to \infty) a_n b_n = 0$
Ciò ti consente di trascurare del tutto, al limite, il termine limitato, venendo esso in questo caso "sopraffatto" da $x^2$.
$ (x^2(1-cos x))/(x+5)^5 ~_oo (x^2)/(x+5)^5 rarr_oo 0$
In alternativa, una volta che hai osservato come $ 0< 1-cos(x) < 2$, puoi sfruttare il teorema dei carabinieri: all'$oo$ (e in particolare $AAx > -5$), la funzione è sempre positiva. Allora vale:
$0< \lim_(x to \infty) (x^2(1-cos x))/(x+5)^5 < \lim_(x to \infty) (2*x^2)/(x+5)^5 = 0$
E quindi anche il tuo limite, quello centrale, tende a 0.
Grazie mille, ho capito tutto.