Limite all' esame di analisi 1

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti, all esame mi è capitato questo limite ma non sono riuscito a risolvero fino in fondo.

$\lim_{x \to \infty} x^5[(5x^3+3sqrt(x^6+1))^(1/3)-2x]$

ho Utilizzato De l Hopital:

$\lim_{x \to \infty} [(5x^3+3sqrt(x^6+1))^(1/3)-2x]/(1/x^5)$

derivata numeratore: $-2+(15 x^2+(9 x^5)/sqrt(1+x^6))/(3 (5 x^3+3 sqrt(1+x^6))^(2/3))$

derivata denominatore: $-5/x^6$

$\lim_{x \to \infty} (-2+(15 x^2+(9 x^5)/sqrt(1+x^6))/(3 (5 x^3+3 sqrt(1+x^6))^(2/3))) (-x^6/5)$

Poi ho sviluppato $sqrt(1+x^6)= 1+1/2x^6$, ma il risultato non torna.

Wolframalpha mi dice che il risultato è $1/8$ quindi questa parte: $(15 x^2+(9 x^5)/(1+1/2x^6))/(3 (5 x^3+3+3/2x^6)^(2/3)$ dovrebbe valere $2-5/8x^6$.

invece nel $\lim_{x \to \infty} (-2+(15 x^2+(9 x^5)/(1+1/2x^6))/(3 (5 x^3+3+3/2x^6)^(2/3)))(-x^6/5)$ le $x$ non si annullano.

dove sbaglio?

[Luca.Lussardi]

non ho guardato tutti i conti ma attenzione allo sviluppo di $\sqrt{1+x^6}$... $x\to +\infty$

[francicko]

In questo specifico caso visto la presenza di radicali, sarei più propenso ad usare gli asintotici piuttosto che Hopital, che portano a snellire la forma del limite iniziale , e al calcolo immediato del risultato;
$sqrt (x^6+1)~(x^3+1/(2x^3)) $, il limite iniziale diventa cosi:
$lim_(x->infty)x^5 (root(3)(5x^3+3×(x^3+1/(2x^3)))-2x) $ $=lim_(x->infty)x^5(root(3)(5x^3+3x^3+3/(2x^3))-2x) $ $=limx^5 (root(3)(8x^3+3/(2x^3))-2x)$ $=limx^5(root (3)((8x^3)(1+3/((8x^3)×(2x^3))))-2x) $ $=limx^5(2xroot (3)(1+3/((2x^3)×(8x^3))))-2x) $
adesso $root (3)(1+3/((2x^3)×(8x^3)))~1+1/((2x^3)×(8x^3))$, sostituendo avremo:
$lim(x^5)(2x)(1+1/((2x^3)×(8x^3))-1)=lim (x^5)×(2x)×(1/((2x^3)×(8x^3)))=lim (2x^6)×(1/(2×8x^6))=lim (2x^6)×(1/(2x^6×8))=1/8$;
mi sbaglio?

[francicko]

E' corretto quanto ho riportato sopra?

[cristian.vitali.102]

correttissimo grazie.