Limite al variare di k

[ilamu1]

Ciao a tutti!! Ho un esercizio svolto in cui devo calcolare il $ lim_(x -> +oo ) [x- x^2 log(1+sin(1/x))+k] $ al variare di k. Il mio problema non è tanto la risoluzione del limite quanto le considerazioni che il professore fa prima di svolgerlo, cioè lui dice che : la funzione è definita ALMENO in (1, $ +oo $ ) , infatti se $ x>1 rArr 0<1/x<1 rArr sin(1/x)>0rArr 1+sin(1/x)>1 $ ... in questo concetto tutto chiaro ma perché si limita ad x>1 e non considera dal principio l' argomento del logaritmo >0 ?
(cioè come e perché valuta necessaria questa considerazione? )

grazie mille anticipatamente

[vict85]

Perché se \(x<1\) allora esistono punti in cui \(\sin(x^{-1}) = -1\) e tanto ciò che succede lontano da \(+\infty\) non influisce nel limite.

[ilamu1]

Grazie mille!!!