Limite al variare di $ alpha$ per $x->0^+ $

[crazyjunior]

Buongiorno a tutti,
c'è un esercizio che non riesco a risolvere:

$ lim_(x -> 0^{+})= (1-ln^{alpha}(x+e))/(sinx)^{alpha} $

e mi chiede di studiare il limite al variare di $ alpha $, il denominatore è asintotticamente equivalente ad $ x^{alpha} $ ma il numeratore non riesco a trovare o perlomeno a ricondurlo a nessun asintotticamente, chi mi può aiutare?
Grazie in anticipo.

[Paolo902]

Ciao.

Un suggerimento: ricorda che [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$[/tex].

Quindi tutto sta nello scrivere diversamente quel [tex]\log(x+e)[/tex]...

[crazyjunior]

io ho pensato di fare una cosa del genere:

cioè ricondurmi nella forma: $ ln(f(x) +1) ~ f(x) $ e quindi:

$ lim_(x->0^{+})= (1-ln^{alpha}(e(x/e+1)))/(sinx)^{alpha}= $

$ = lim_(x->0^{+})= (1-ln^{alpha}(e)+ln^{alpha}((x/e)+1))/(sinx)^{alpha} = $

$ = lim_(x->0^{+})= (ln^{alpha}((x/e)+1))/(sinx)^{alpha} ~ ????? $

e qui mi blocco perchè c'è un logaritmo all'alpha.

[Pdirac]

occhio, all'esponente... forse scrivendolo così si vede di più! $(ln(e(x/e +1)))^\alpha = (lne + ln(1+x/e))^\alpha$ ...

[crazyjunior]

grazie per l'accorgimento, ma così le cose si complicano

[Paolo902]

"crazyjunior":grazie per l'accorgimento, ma così le cose si complicano

No, tranquillo. Una volta osservato che [tex]\log e =1[/tex], ricorda un altro limite notevole: [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\beta}-1}{x}=\ldots$[/tex]

[crazyjunior]

Eureka!!! ci sono arrivato!!! grazie mille a tutti per avermi chiarito le idee e avermi portato sulla retta via.

[Paolo902]

Prego, di nulla