Limite a tre variabili

[franc3sc01]

Ciao a tutti.
Ho da calcolare questo limite
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 2C0%2C0%29

Io sono passato alle coordinate sferiche ma non capisco come maggiorare la funzione.
Impongo $x=\rho*\sin(\theta)\cos(\phi)$, $y=\rho\sin(\theta)\sin(\phi)$ e $z=\rho\cos\theta$ e ottengo l'espressione:
$
\rho^5\sin^2(\theta)\cos^5(\phi)sin(\frac{1-\cos^2(\phi)\sin^2(\theta)}{\sin^2(\theta)\cos^2(\phi)}
$
Ma non riesco proprio a maggiorarla..cioè, io avrei detto che il modulo di questa espressione è minore di $\rho^5$ e quindi per $\rho$ che tende a 0 ottengo che il limite fa 0, ma wolframalpha non dice questo.

P.S. perchè le formule non si vedono??
Grazie a tutti

[franc3sc01]

Ok. Avevo anche fatto così ma credendo a wolframalpha mi ero un po' impallato. E quindi se non ho le soluzioni per i limiti a più variabili come faccio a sapere se ho fatto tutto giusto?

[franc3sc01]

"TeM":[quote="franc3sc0"]E quindi se non ho le soluzioni per i limiti a più variabili come faccio a sapere se ho fatto tutto giusto?

Bhé, i prof e questo forum esistono anche per questo, eh [/quote]

Grazie! Ti chiedo una cosa riguardo il limite delle restrizioni. So che i limiti di funzioni ristrette non sono delle condizioni sufficiente per concludere sull'esistenza del limite, ma lo diventano per dimostrare la non esistenza di un limite.
Però, quali sono le ipotesi per applicare i limiti di restrizioni? Ad esempio, se volessi calcolare
$
lim_((x,y) -> (0,0)) x^3y^2
$
e mi chiedo "come si comporta il limite lungo tutti quei punti tali che $y=m/x^{3/2}$". Se faccio questa sostituzione però trovo che che il limite dipende dal parametro $m$ e quindi posso concludere che il limite non esiste. Ma davvero non esiste?? Mi è difficile crederlo.

Oppure questo limite qua
$
lim_((x,y) -> (0,0)) \frac{1-e^{x^3y^2}}{x^6+y^4}
$
posso sfruttare il fatto che posto $t=x^3y^2$ in un intorno di $t=0$ vale $e^t ~ 1+t$? Allora mi verrebbe da scrivere il limite come
$
lim_((x,y) -> (0,0)) \frac{-x^3y^2}{x^6+y^4}
$
e passando in coordinate polari avrei dubbi sulla sua esistenza. Così, passando al limite della restrizione lungo $y=x^2$ posso concludere che il limite non esiste.

[franc3sc01]

"TeM":
Ma sicuro che \((0,\;0)\in h(x)=\frac{m}{x^{3/2}}\) ? In fondo stiamo cercando di capire come si comporta la funzione in esame nell'avvicinarsi all'origine... dunque le curve da "percorrere" dovranno necessariamente passare per tale punto!

Ci avevo pensato ovviamente! Ma le dispense del mio professore dicono che il punto verso cui stiamo considerando il limite deve essere un punto di accumulazione anche per l'insieme sul quale restringiamo la nostra funzione. Non è questo il caso?

"TeM":[quote="franc3sc0"]Oppure questo limite qua
$
lim_((x,y) -> (0,0)) \frac{1-e^{x^3y^2}}{x^6+y^4}
$
posso sfruttare il fatto che posto $t=x^3y^2$ in un intorno di $t=0$ vale $e^t ~ 1+t$? Allora mi verrebbe da scrivere il limite come
$
lim_((x,y) -> (0,0)) \frac{-x^3y^2}{x^6+y^4}
$
e passando in coordinate polari avrei dubbi sulla sua esistenza. Così, passando al limite della restrizione lungo $y=x^2$ posso concludere che il limite non esiste.

Qui, invece, in principio hai agito correttamente, hai semplificato in maniera intelligente, ma a quel punto ti sei perso. Che significa che passando a quella restrizione il limite non esiste? Perlomeno devi trovare due restrizioni lungo le quali il limite sia diverso per dimostrare ciò. In ogni modo, in questo caso il limite esiste e vale \(0\): lo si dimostra, al solito, passando in coordinate polari.[/quote]
Hai ragione scusami. E' che a priori mi ero detto che se il limite dovesse esistere, dovrebbe valere 0, visto che lungo gli assi la funzione si annulla. E quindi restringendo a $y=x^2$ trovo che il limite vale 1.
Il mio libro come soluzione dice che il limite non esiste...

[franc3sc01]

"TeM":[quote="franc3sc0"]Ci avevo pensato ovviamente! Ma le dispense del mio professore dicono che il punto verso cui stiamo considerando il limite deve essere un punto di accumulazione anche per l'insieme sul quale restringiamo la nostra funzione. Non è questo il caso?

[/quote]
Non è questo il caso dato che $h$ passa ad un chilometro da $O$
Cacchio hai ragione