Limite a due variabili
Salve, devo studiare il limite per le due variabili che tendono a 0 seguente:
$lim (xlny)$
Non ho idea di come farlo, ho provato col metodo dello "scontro dei battaglioni" (così lo chiama il mio professore... mah) riscrivendo il limite così:
$lim (x/x lny/y xy)$ solo che poi non so come andare avanti. Riguardando le precedenti discussioni intorno ai limiti a due variabili, si consiglia spesso di usare le coordinate polari, che però non credo si possa fare in quanto non ce l'hanno mai detto di farlo, quindi mi piacerebbe sapere qualche consiglio per andare avanti.
Inoltre vorrei sapere se la dimostrazione che:
$lim_(x,y)->(0,0) x/y$ non esiste è questa:
Basta verificare che seguendo le rette di tipo $y=mx$ si ha
$lim_x mx/x = m$
Dal momento che al variare di m il limite varia, allora esso non esiste.
$lim (xlny)$
Non ho idea di come farlo, ho provato col metodo dello "scontro dei battaglioni" (così lo chiama il mio professore... mah) riscrivendo il limite così:
$lim (x/x lny/y xy)$ solo che poi non so come andare avanti. Riguardando le precedenti discussioni intorno ai limiti a due variabili, si consiglia spesso di usare le coordinate polari, che però non credo si possa fare in quanto non ce l'hanno mai detto di farlo, quindi mi piacerebbe sapere qualche consiglio per andare avanti.
Inoltre vorrei sapere se la dimostrazione che:
$lim_(x,y)->(0,0) x/y$ non esiste è questa:
Basta verificare che seguendo le rette di tipo $y=mx$ si ha
$lim_x mx/x = m$
Dal momento che al variare di m il limite varia, allora esso non esiste.
Risposte
Allora provo ad aiutarti. Ci sono differenti metodi per lo sviluppo di limiti a 2 variabili ma il più usato è sicuramente il metodo delle coordinate polari.
Dunque pongo $x=rho*costheta$ e $y=rho*sentheta$ con $rho$ che tende a 0 (questo dice il metodo che ti sto indicando).
Dunque il limite diventa: $lim_(rho->0)rho* cos theta *ln(rho*sentheta)$. La forma è 0 per infinito però puoi notare che il primo termine tende "più velocemente a zero" rispetto a quanto il logaritmo tenda ad infinito dunque si può affermare che il limite è 0 (usa questo metodo con molta cautela).
Se non ti sta bene l'analisi della "velocità" con cui tendono al loro valore puoi svilupparlo così: $lim_(rho->0)ln(rho*sentheta)^(rho*costheta)$ che corrisponde a $ln(1)$ dunque come detto prima 0.
In realtà questo metodo non è sufficiente (per regola) però salvo casi particolari è quello più sicuro.
Dunque pongo $x=rho*costheta$ e $y=rho*sentheta$ con $rho$ che tende a 0 (questo dice il metodo che ti sto indicando).
Dunque il limite diventa: $lim_(rho->0)rho* cos theta *ln(rho*sentheta)$. La forma è 0 per infinito però puoi notare che il primo termine tende "più velocemente a zero" rispetto a quanto il logaritmo tenda ad infinito dunque si può affermare che il limite è 0 (usa questo metodo con molta cautela).
Se non ti sta bene l'analisi della "velocità" con cui tendono al loro valore puoi svilupparlo così: $lim_(rho->0)ln(rho*sentheta)^(rho*costheta)$ che corrisponde a $ln(1)$ dunque come detto prima 0.
In realtà questo metodo non è sufficiente (per regola) però salvo casi particolari è quello più sicuro.
Ti ringrazio per la risposta.
Ma se non è sufficiente come faccio a dire con certezza che il limite è 0? non c'è una sorta di dimostrazione formale, un qualcosa che dovrei fare? e senza le coordinate polari come lo dovrei sviluppare?
Inoltre il
$lim_((x,y)->(0,0)) y^x$ come faccio ad avere certezza che fa 1? se lo provo su ogni retta - paraboloide del tipo $y = mx^a$ al variare di a ed m viene 1, ma questa condizione non è sufficiente.
P.s sai dove posso trovare online dispense/appunti/ esercizi su questa roba?
Ma se non è sufficiente come faccio a dire con certezza che il limite è 0? non c'è una sorta di dimostrazione formale, un qualcosa che dovrei fare? e senza le coordinate polari come lo dovrei sviluppare?
Inoltre il
$lim_((x,y)->(0,0)) y^x$ come faccio ad avere certezza che fa 1? se lo provo su ogni retta - paraboloide del tipo $y = mx^a$ al variare di a ed m viene 1, ma questa condizione non è sufficiente.
P.s sai dove posso trovare online dispense/appunti/ esercizi su questa roba?
Da studente ti dico.. ci sono 3 metodi da utilizzare e salvo il caso estremo eccezionale (che a livello didattico non troverai praticamente mai) se li verifichi tutti e 3 puoi dire qual'è il limite.
Se tra questi 3 metodi, uno viene meno (ovvero ti dice che non esiste o non viene soddisfatto) puoi con certezza dire che il limite non esiste perchè tutti e 3 sono condizioni necessarie.
Io utilizzo i tre metodi e non ho mai avuto problemi poi sei libero di cercare ulteriori metodi ma in linea di massima non c'è un metodo fisso che ti dà subito una risposta.
Io all'inizio ci impazzivo pure ma poi ho accettato questa versione dei fatti
Sia il limite $lim_(x,y->x_0,y_0)f(x,y)$
Ecco i 3 metodi:
Metodo Restrizione (Verifica del fascio di rette passanti per il punto)
pongo y=mx dunque
$lim_(x->x_0)f(x,mx)=l$ (il risultato non deve dipendere da m)
Metodo di Verifica sugli assi
$lim_(x->x_0^+)f(x,0)=lim_(x->x_0^-)f(x,0)=lim_(y->y_0^+)f(0,y)=lim_(y->y_0^-)f(0,y)$
Metodi delle coordinate polari (Metodo che ti ho appena illustrato)
$lim_(rho->0)(x_0+rho*costheta,y_0+rho*sentheta)=l$ (il risultato non deve dipendere da theta)
Se i tre metodi convergono in una soluzione puoi dire che quello è il risultato (al 99,9% dei casi xD)
Comunque ti ripeto che il metodo coordinate polari è sufficiente per la maggior parte dei limiti a 2 variabili. Io di solito con quello scopro subito il risultato dell'integrale (se esiste) senza calcolare gli altri metodi.
EDIT
Ad esempio:
$lim_((x,y)to(0,0)) (x^3+y^3)/(x^2+y^2)$
utilizzo il metodo delle coordinate polari quindi:
$lim_(rho->0) (rho^3*cos^3theta+rho^3sen^3theta)/(rho^2*cos^2theta+rho^2*sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)/(cos^2theta+sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)=lim_(rho->0) rho*(cos^3theta+sen^3theta)$ che è zero indipendentemente da $theta$ dunque 0 è il risultato del limite.
Se tra questi 3 metodi, uno viene meno (ovvero ti dice che non esiste o non viene soddisfatto) puoi con certezza dire che il limite non esiste perchè tutti e 3 sono condizioni necessarie.
Io utilizzo i tre metodi e non ho mai avuto problemi poi sei libero di cercare ulteriori metodi ma in linea di massima non c'è un metodo fisso che ti dà subito una risposta.
Io all'inizio ci impazzivo pure ma poi ho accettato questa versione dei fatti
Sia il limite $lim_(x,y->x_0,y_0)f(x,y)$
Ecco i 3 metodi:
Metodo Restrizione (Verifica del fascio di rette passanti per il punto)
pongo y=mx dunque
$lim_(x->x_0)f(x,mx)=l$ (il risultato non deve dipendere da m)
Metodo di Verifica sugli assi
$lim_(x->x_0^+)f(x,0)=lim_(x->x_0^-)f(x,0)=lim_(y->y_0^+)f(0,y)=lim_(y->y_0^-)f(0,y)$
Metodi delle coordinate polari (Metodo che ti ho appena illustrato)
$lim_(rho->0)(x_0+rho*costheta,y_0+rho*sentheta)=l$ (il risultato non deve dipendere da theta)
Se i tre metodi convergono in una soluzione puoi dire che quello è il risultato (al 99,9% dei casi xD)
Comunque ti ripeto che il metodo coordinate polari è sufficiente per la maggior parte dei limiti a 2 variabili. Io di solito con quello scopro subito il risultato dell'integrale (se esiste) senza calcolare gli altri metodi.
EDIT
Ad esempio:
$lim_((x,y)to(0,0)) (x^3+y^3)/(x^2+y^2)$
utilizzo il metodo delle coordinate polari quindi:
$lim_(rho->0) (rho^3*cos^3theta+rho^3sen^3theta)/(rho^2*cos^2theta+rho^2*sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)/(cos^2theta+sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)=lim_(rho->0) rho*(cos^3theta+sen^3theta)$ che è zero indipendentemente da $theta$ dunque 0 è il risultato del limite.
"CyberCrasher":
Da studente ti dico.. ci sono 3 metodi da utilizzare e salvo il caso estremo eccezionale (che a livello didattico non troverai praticamente mai) se li verifichi tutti e 3 puoi dire qual'è il limite.
Se tra questi 3 metodi, uno viene meno (ovvero ti dice che non esiste o non viene soddisfatto) puoi con certezza dire che il limite non esiste perchè tutti e 3 sono condizioni necessarie.
Io utilizzo i tre metodi e non ho mai avuto problemi poi sei libero di cercare ulteriori metodi ma in linea di massima non c'è un metodo fisso che ti dà subito una risposta.
Io all'inizio ci impazzivo pure ma poi ho accettato questa versione dei fatti
Sia il limite $lim_(x,y->x_0,y_0)f(x,y)$
Ecco i 3 metodi:
Metodo Restrizione (Verifica del fascio di rette passanti per il punto)
pongo y=mx dunque
$lim_(x->x_0)f(x,mx)=l$ (il risultato non deve dipendere da m)
Metodo di Verifica sugli assi
$lim_(x->x_0^+)f(x,0)=lim_(x->x_0^-)f(x,0)=lim_(y->y_0^+)f(0,y)=lim_(y->y_0^-)f(0,y)$
Metodi delle coordinate polari (Metodo che ti ho appena illustrato)
$lim_(rho->0)(x_0+rho*costheta,y_0+rho*sentheta)=l$ (il risultato non deve dipendere da theta)
Se i tre metodi convergono in una soluzione puoi dire che quello è il risultato (al 99,9% dei casi xD)
Comunque ti ripeto che il metodo coordinate polari è sufficiente per la maggior parte dei limiti a 2 variabili. Io di solito con quello scopro subito il risultato dell'integrale (se esiste) senza calcolare gli altri metodi.
EDIT
Ad esempio:
$lim_((x,y)to(0,0)) (x^3+y^3)/(x^2+y^2)$
utilizzo il metodo delle coordinate polari quindi:
$lim_(rho->0) (rho^3*cos^3theta+rho^3sen^3theta)/(rho^2*cos^2theta+rho^2*sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)/(cos^2theta+sen^2theta)=lim_(rho->0) (rho*cos^3theta+rho*sen^3theta)=lim_(rho->0) rho*(cos^3theta+sen^3theta)$ che è zero indipendentemente da $theta$ dunque 0 è il risultato del limite.
chiarissimo.meglio di così.
Capisco e ringrazio, ho solo il dubbio se in luogo d'esame posso dire "Dal momento che i 3 metodi mi danno lo stesso risultato, posso affermare che il limite è questo" oppure no. Perché nel caso dell'"oppure no" io so solo come dimostrare se il limite non esiste, ma se esiste non ho metodi certi di verifica.
Ti ringrazio comunque.
Ti ringrazio comunque.
per avere certezza (dopo che ti sei fatto un'idea coi tre metodi) devi maggiorare (usare cioè il metodo del confronto)
per esempio nelo tuo primo caso:
$0<=|xlogy|<=|x|*|logy|<=|x|*|(1+y)|$ che tende a zero per $(x,y)\to (0,0)$
(usare cioè il metodo del confronto)per esempio nelo tuo primo caso:
$0<=|xlogy|<=|x|*|logy|<=|x|*|(1+y)|$ che tende a zero per $(x,y)\to (0,0)$
per y tendente a 0 $|logy|>|1+y|$, non minore. Comunque ho capito come devo fare, perfetto.
propongo un esercizio... dimostrare se il seguente limite esiste
$lim_((x,y)to(0,0)) (e^(x^3y)-1)/(x^2+y^2)$
ecco qui la mia soluzione:
$lim_((x,y)to(0,0)) (e^(x^3y)-1)/(x^2+y^2)$
ecco qui la mia soluzione:
se $x=rho*costheta$ sei sicuro che $x^3$ sia uguale a quello che hai scritto nella tua soluzione?
Ti ricordo che $(a*b)^3=a^3*b^3$
Comunque faccio osservare che il metodo della verifica sugli assi converge col tuo risultato ovvero (sia nei limiti destri che sinistri si osserva che):
$lim_(x->0) (e^(0)-1)/(x^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ (in y=0) e $lim_(y->0) (e^(0)-1)/(y^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ in (x=0)
Ti ricordo che $(a*b)^3=a^3*b^3$
Comunque faccio osservare che il metodo della verifica sugli assi converge col tuo risultato ovvero (sia nei limiti destri che sinistri si osserva che):
$lim_(x->0) (e^(0)-1)/(x^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ (in y=0) e $lim_(y->0) (e^(0)-1)/(y^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ in (x=0)
"CyberCrasher":
se $x=rho*costheta$ sei sicuro che $x^3$ sia uguale a quello che hai scritto nella tua soluzione?
Ti ricordo che $(a*b)^3=a^3*b^3$
Comunque faccio osservare che il metodo della verifica sugli assi converge col tuo risultato ovvero (sia nei limiti destri che sinistri si osserva che):
$lim_(x->0) (e^(0)-1)/(x^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ (in y=0) e $lim_(y->0) (e^(0)-1)/(y^2)=lim_(x->0)0/x^2=0$ in (x=0)
ops scusate errore mio.sulla carta era giusto.ho sbagliato a battere al computer
ciao,
mi potreste aiutare e stabilire se esiste il seguente limite:
lim
(x,y)->(0,0) (y^2/2y^2+x^4)
grazie
mi potreste aiutare e stabilire se esiste il seguente limite:
lim
(x,y)->(0,0) (y^2/2y^2+x^4)
grazie
@fanta: Benvenuto nel forum! Per iniziare ti consiglio vivamente di leggere questo (click). Ti segnalo, inoltre, che qui di solito si apre un nuovo topic, piuttosto che intervenire in uno già aperto, quando si vuole sollevare una nuova questione.
Grazie per l'attenzione.
Grazie per l'attenzione.
si, ok!! ma cm si apre un nuovo topic??
bisogna però verificare l'uniformità di teta... cioè calcolare il limite del sup di teta di f(rho,teta) - L in valore assoluto e vedere cosa succede... se il limite viene zero si dice che il limite di partenza è uniforme rispetto a teta, cioè che la variabile teta non mi da problemi. se avessi avuto un rho*(cos(teta))/sin(teta) per rho che tende a zero viene zero, ma se teta valesse pigreco? caso 0/0..... quindi il fatto che il limite venga 0 non implica niente sostanzialmente....
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