Limite a 2 variabili

[roberto.biccario]

Salve sono da poco alle prese con i limiti a 2 variabili e vorrei un controllo di questo esercizio grazie

$lim_(x,y->0,0) (xy)/(x^3+y^9) $

verifico subito le restrizioni sugli assi:
1) per $y=0$ si ha che $f(x,0) = 0$ e dunque $lim_(x->0) f(x,0) =0$
2) per $x=0$ si ha che $f(0,y) = 0$ e dunque $lim_(y->0) f(0,y) =0$

ora provo con le coordinate polari:
$lim_(rho,phi->0,0) (rho cos(phi) rho sin (phi))/(rho^3cos^3(phi)+rho^3sin^3(phi))$ $=$ $(rho^2cos(phi)sin(phi))/(rho^3(cos^3(phi)+sin^3(phi))$ $=$ $1/(rhocos^2(phi)sin^2(phi))$ $=$ $infty$

già qui credo che posso affermare che il limite non esiste dato il risultato $+infty$, però faccio un ulteriore verifica con la restrizione $y=x^(1/3)$

$f(x,x^(1/3)) = ((x x^(1/3))/(x^3+x^3))=1/(2x^(5/3)) =$
dunque $lim_(x->0) f(x,x^(1/3)) = +infty $
ancora una volta posso affermare che il limite non esiste

[walter891]

concordo sul fatto che il limite non esiste ma c'è qualcosa di sbagliato con le coordinate polari: ricontrolla le semplificazioni che hai fatto

[roberto.biccario]

si ho fatto una semplificazione errata da stupido xD
dovrei ottenere $(cos(phi)sin(phi))/(rho^2(cos^3(phi)+sin^3(phi))$
ma poi posso semplificare ancora o traggo delle conclusioni?