Limite
Sapete dirmi quanto fa questo limite e perché?
$\lim_{n \to \infty}(2root(n)(a)-1)^n$ con a $in$ $RR$
Riesco ad arrivare qui e mi blocco
$a*$$\lim_{n \to \infty}(2-1/root(n)(a))^n$
Help please. Grazie in anticipo
$\lim_{n \to \infty}(2root(n)(a)-1)^n$ con a $in$ $RR$
Riesco ad arrivare qui e mi blocco
$a*$$\lim_{n \to \infty}(2-1/root(n)(a))^n$
Help please. Grazie in anticipo
Risposte
Comincia a distinguere un po' di casi: ad esempio, secondo te la successione sotto il segno di limite è definita per tutti gli \(a\in \mathbb{R}\)?
Poi, in quali casi c'è effettivamente indeterminazione e in quali casi l'indeterminazione è solo "fittizia"?
P.S.: Il titolo in minuscolo, please (cfr. qui).
Poi, in quali casi c'è effettivamente indeterminazione e in quali casi l'indeterminazione è solo "fittizia"?
P.S.: Il titolo in minuscolo, please (cfr. qui).
Sicuramente per poter definire la successione devo avere $a$ $in$ $RR^+$ compreso lo zero. Inoltre se $a = 0$ allora la successione è indeterminata, se $a = 1$ la successione è convergente e converge ad $1$.
Se $a$ $in$ $(0,1)$ allora sarà definitivamente convergente (devo trovare il valore del limite però), perché $EE$ $m$ t.c $AA$ $n >= m$ risulta $2*root(n)(a) -1 > 0$ poiché al crescere di $n$ il valore $root(n)(a)$ tende ad uno.
Se infine $a > 1$ non rimane che trovare il valore del limite che suppongo sia finito.
Se $a$ $in$ $(0,1)$ allora sarà definitivamente convergente (devo trovare il valore del limite però), perché $EE$ $m$ t.c $AA$ $n >= m$ risulta $2*root(n)(a) -1 > 0$ poiché al crescere di $n$ il valore $root(n)(a)$ tende ad uno.
Se infine $a > 1$ non rimane che trovare il valore del limite che suppongo sia finito.
Nessuna idea sulla converga di questa successione e sul valore che assume?
Se \(00\) definitivamente, cioè per \(n\) sufficientemente grande, dato che \(\lim_n 2\sqrt[n]{a}-1=1\).
Da quanto appena detto, il limite assegnato si presenta nella forma indeterminata \(1^\infty\), quindi bisogna "smanettare" un po' per capire se esso esiste e, nel caso affermativo, se si può calcolare.
Visto il tipo di forma indeterminata e dato che \(2\sqrt[n]{a}-1>0\) definitivamente, si può scrivere:
\[
(2\sqrt[n]{a} -1)^n = \exp \left( \log (2\sqrt[n]{a}-1)^n\right) = \exp \left( n\ \log (2\sqrt[n]{a}-1)\right)
\]
per \(n\) sufficientemente grande, dunque per farci un'idea di cosa aspettarci c'è bisogno di guardare cosa succede all'argomento dell'ultimo esponenzile.
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n n\ \log (2\sqrt[n]{a}-1) &= \lim_n n\ \log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)] \\
&= \lim_n n\ 2(\sqrt[n]{a} -1)\ \frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)} \\
&= \lim_n 2\ n\ [\exp (\frac{\log a}{n}) -1]\ \frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)} \\
&= \lim_n 2\ \cancel{n}\ \frac{\log a}{\cancel{n}}\ \underbrace{\frac{\exp (\frac{\log a}{n}) -1}{\frac{\log a}{n}}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{\frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)}}_{\color{maroon}{\to 1}} \\
&= 2\ \log a \\
&= \log a^2
\end{split}
\]
(ove si è ricordato che \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1=\lim_{x\to 0} \frac{\log (1+x)}{x}\)), perciò usando la continuità dell'esponenziale si trova:
\[
\begin{split}
\lim_n (2\sqrt[n]{a} -1)^n &= \lim_n \exp \left( n\ \log (2\sqrt[n]{a} -1)\right) \\
&= \exp \left( \lim_n n\ \log (2\sqrt[n]{a} -1)\right)\\
&= \exp (\log a^2)\\
&= a^2\; .
\end{split}
\]
Prova a vedere se il ragionamento funziona pure per \(a>1\).
Da quanto appena detto, il limite assegnato si presenta nella forma indeterminata \(1^\infty\), quindi bisogna "smanettare" un po' per capire se esso esiste e, nel caso affermativo, se si può calcolare.
Visto il tipo di forma indeterminata e dato che \(2\sqrt[n]{a}-1>0\) definitivamente, si può scrivere:
\[
(2\sqrt[n]{a} -1)^n = \exp \left( \log (2\sqrt[n]{a}-1)^n\right) = \exp \left( n\ \log (2\sqrt[n]{a}-1)\right)
\]
per \(n\) sufficientemente grande, dunque per farci un'idea di cosa aspettarci c'è bisogno di guardare cosa succede all'argomento dell'ultimo esponenzile.
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n n\ \log (2\sqrt[n]{a}-1) &= \lim_n n\ \log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)] \\
&= \lim_n n\ 2(\sqrt[n]{a} -1)\ \frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)} \\
&= \lim_n 2\ n\ [\exp (\frac{\log a}{n}) -1]\ \frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)} \\
&= \lim_n 2\ \cancel{n}\ \frac{\log a}{\cancel{n}}\ \underbrace{\frac{\exp (\frac{\log a}{n}) -1}{\frac{\log a}{n}}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{\frac{\log [1+2(\sqrt[n]{a}-1)]}{2(\sqrt[n]{a}-1)}}_{\color{maroon}{\to 1}} \\
&= 2\ \log a \\
&= \log a^2
\end{split}
\]
(ove si è ricordato che \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1=\lim_{x\to 0} \frac{\log (1+x)}{x}\)), perciò usando la continuità dell'esponenziale si trova:
\[
\begin{split}
\lim_n (2\sqrt[n]{a} -1)^n &= \lim_n \exp \left( n\ \log (2\sqrt[n]{a} -1)\right) \\
&= \exp \left( \lim_n n\ \log (2\sqrt[n]{a} -1)\right)\\
&= \exp (\log a^2)\\
&= a^2\; .
\end{split}
\]
Prova a vedere se il ragionamento funziona pure per \(a>1\).
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