Limite
$lim_(x->0)(1/x^2-cotg^2 x)=lim_(x->0)(1/x^2-1/(tg^2 x))=$la trasformo in una forma indeterminata $0/0$ affinche posso applicare hospital $lim_(x->0)(tg^2 x-x^2)/(x^2 tg^2 x)=$
$=lim_(x->0)((2/(cos^2x))-2x)/(2x tg^2 x+x^2 (2/(cos^2x)))=2/(2xtg x( tg x+x sen^2 x))=oo$
$=lim_(x->0)((2/(cos^2x))-2x)/(2x tg^2 x+x^2 (2/(cos^2x)))=2/(2xtg x( tg x+x sen^2 x))=oo$
Risposte
Fai attenzione a come derivi però, perchè la derivata di $tg^2x$ non è $2/(cos^2x)$.
Di solito comunque questo è un caso classico in cui si applicano gli sviluppi in serie di Taylor
Di solito comunque questo è un caso classico in cui si applicano gli sviluppi in serie di Taylor
$=lim_(x->0)(2tgx sen^2 x-2x)/(2x(tg^2 x)+x^2(2tgx sen^2 x))=$
$=lim_(x->0)(2tgx sen^2 x-2x)/(2xtgx(tgx+x sen^2 x))=$ e come posso procedere mi sono bloccato
$=lim_(x->0)(2tgx sen^2 x-2x)/(2xtgx(tgx+x sen^2 x))=$ e come posso procedere mi sono bloccato
Devi partire da questo punto $(tgx^2-x^2)/(x^2tgx^2)$ e applicare la tecnica degli sviluppi in serie di Taylor
nn lo abbiamo fatto taylor...la prof ci ha detto di risolverlo con de l'hopital
E allora prova con Hopital, anche se allunghi tantissimo, l'importante è che fai bene le derivate, che nel post precedente sono sbagliate di nuovo!
ho controllato e dovrebbero stare ene le derivate del numeratore e denominatore
Io farei cosi solo con limiti notevoli e hopital:
\( \displaystyle \frac{\tan^2(x)-x^2}{x^2 \tan^2(x)}=\left( \frac{x}{\tan(x)}\right)^2\frac{\tan(x)+x}{x}\frac{\tan(x)-x}{x^3}\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{x}{\tan(x)}=1\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)+x}{x}=2\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)-x}{x^3}= \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\sin^2(x)}{3x^2 \cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
\( \displaystyle \frac{\tan^2(x)-x^2}{x^2 \tan^2(x)}=\left( \frac{x}{\tan(x)}\right)^2\frac{\tan(x)+x}{x}\frac{\tan(x)-x}{x^3}\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{x}{\tan(x)}=1\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)+x}{x}=2\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)-x}{x^3}= \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\sin^2(x)}{3x^2 \cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
"scarsetto":
ho controllato e dovrebbero stare ene le derivate del numeratore e denominatore
la derivata di $tgx^2$ non è $2tgxsin^2x$
"Lorin":
Devi partire da questo punto $(tgx^2-x^2)/(x^2tgx^2)$ e applicare la tecnica degli sviluppi in serie di Taylor
lorin ti stai confondendo la derivata di $tg^2 x$ è esatta quella che ha scritto scarsetto tu invece pensi che sia sbagliata perchè fai la derivata $tg x^2$
"totissimus":
Io farei cosi solo con limiti notevoli e hopital:
\( \displaystyle \frac{\tan^2(x)-x^2}{x^2 \tan^2(x)}=\left( \frac{x}{\tan(x)}\right)^2\frac{\tan(x)+x}{x}\frac{\tan(x)-x}{x^3}\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{x}{\tan(x)}=1\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)+x}{x}=2\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)-x}{x^3}= \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\sin^2(x)}{3x^2 \cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
non ho capito cosa fai nel primo passaggio : per caso metti in evidenzia?
Si ho sbagliato io a mettere un quadrato hai ragione.
Ma comunque la derivata di $tg^2x$ è $2tgx(1/(cos^2x))$
Ma comunque la derivata di $tg^2x$ è $2tgx(1/(cos^2x))$
Vito850:
[quote=totissimus]Io farei cosi solo con limiti notevoli e hopital:
\( \displaystyle \frac{\tan^2(x)-x^2}{x^2 \tan^2(x)}=\left( \frac{x}{\tan(x)}\right)^2\frac{\tan(x)+x}{x}\frac{\tan(x)-x}{x^3}\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{x}{\tan(x)}=1\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)+x}{x}=2\)
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\tan(x)-x}{x^3}= \underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}-1}{3x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{lim} \frac{\sin^2(x)}{3x^2 \cos^2(x)}=\frac{1}{3}\)
non ho capito cosa fai nel primo passaggio : per caso metti in evidenzia?[/quote]
come hai fatto per passare da$(tg^2 x-x^2)/(x^2 tg^2 x)$ a $(x/(tgx))^2 (tgx+x)/(x) (tgx-x)/(x^3)$
Sicuramente mi sbaglio ma provo lo stesso, io procederei in questo modo:
$lim$ $(1/x^2-(cosx)^2/(sinx)^2)$ $=lim(1/x^2-(cosx)^2/x^2)$ $=lim(1-(cosx)^2)/x^2$ $=lim(sinx)^2/x^2=1$.
Ho sostituito la funzione $sinx$ con la funzione $x$, che hanno pressapoco lo stesso comportamento per $x->0$, ed
sostituito $1-(cosx)^2$ con $(sinx)^2$, ho sfruttato il fatto che $1-(cosx)^2=(sinx)^2$, ed il limite notevole $lim$$sinx/x=1$.
Sapreste indicarmi dove ho sbagliato?
$lim$ $(1/x^2-(cosx)^2/(sinx)^2)$ $=lim(1/x^2-(cosx)^2/x^2)$ $=lim(1-(cosx)^2)/x^2$ $=lim(sinx)^2/x^2=1$.
Ho sostituito la funzione $sinx$ con la funzione $x$, che hanno pressapoco lo stesso comportamento per $x->0$, ed
sostituito $1-(cosx)^2$ con $(sinx)^2$, ho sfruttato il fatto che $1-(cosx)^2=(sinx)^2$, ed il limite notevole $lim$$sinx/x=1$.
Sapreste indicarmi dove ho sbagliato?
Resto in attesa di una risposta.
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