Limite
salve ragazzi,
ho un problema nella risoluzione del seguente limite:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))(1 + |sin(1/x)|)^x $
allora per le proprietà dei limiti:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))lim_(x -> +oo)(1 + |sin(1/x)|)^x $
la seconda parte del limite l'ho risolta nel seguente modo:
$ (1 + |sin(1/x)|/(1/x)(1/x))^x$
dove :
$sin(1/x)/(1/x)$ tende ad 1 per x che tende ad infinito
quindi:
$(1 +1/x)^x$ che è pari ad $e$ per x che tende ad infinito.
adesso per la prima parte del limite ho problemi:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))$
scomponendo ancora il limite come somma di limiti ottengo che il primo addendo tende ad 1/6 per x che tende ad infinito...
per gli altri e 2 addendi non riesco a trovare una soluzione qualcuno potrebbe indirizzarmi??
grazie
ho un problema nella risoluzione del seguente limite:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))(1 + |sin(1/x)|)^x $
allora per le proprietà dei limiti:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))lim_(x -> +oo)(1 + |sin(1/x)|)^x $
la seconda parte del limite l'ho risolta nel seguente modo:
$ (1 + |sin(1/x)|/(1/x)(1/x))^x$
dove :
$sin(1/x)/(1/x)$ tende ad 1 per x che tende ad infinito
quindi:
$(1 +1/x)^x$ che è pari ad $e$ per x che tende ad infinito.
adesso per la prima parte del limite ho problemi:
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))$
scomponendo ancora il limite come somma di limiti ottengo che il primo addendo tende ad 1/6 per x che tende ad infinito...
per gli altri e 2 addendi non riesco a trovare una soluzione qualcuno potrebbe indirizzarmi??
grazie
Risposte
Quali sono gli altri 2 addendi ?
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))(1 + |sin(1/x)|)^x $
Il primo fattore:
$ ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6)) sim_(x->+oo) x^6/(6x^6)=1/6$
Il secondo fattore:
Si ha che $sin(1/x) sim_(x->+oo) 1/x$
$(1 + |sin(1/x)|)^x sim_(x->+oo) (1+1/x)^x$
Sai andare avanti ?
Il primo fattore:
$ ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6)) sim_(x->+oo) x^6/(6x^6)=1/6$
Il secondo fattore:
Si ha che $sin(1/x) sim_(x->+oo) 1/x$
$(1 + |sin(1/x)|)^x sim_(x->+oo) (1+1/x)^x$
Sai andare avanti ?
"Quinzio":
Quali sono gli altri 2 addendi ?
allora ho scomposto il limite in due fattori:
il secondo fattore l'ho risolto tranquillamente!
per il primo ho avuto dei problemi:
ho scomposto il primo fattore in 3 addendi....
il primo risulta 1/6, gli altri e due non riesco a risolverli
"lordb":
$ lim_(x -> +oo) ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6))(1 + |sin(1/x)|)^x $
Il primo fattore:
$ ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6)) sim_(x->+oo) x^6/(6x^6)=1/6$
Il secondo fattore:
Si ha che $sin(1/x) sim_(x->+oo) 1/x$
$(1 + |sin(1/x)|)^x sim_(x->+oo) (1+1/x)^x$
Sai andare avanti ?
certo alla fine arrivo alla stessa soluzione che ho trovato io per il secondo fattore...cioè:
$(1 + |sin(1/x)|)^x sim_(x->+oo) (1+1/x)^x$ è un limite notevole che tende ad $e$ per x che tende ad infinito
la domanda che mi faccio...il primo fattore lo posso vedere come un unico polinomio??oppure lo devo vedere come la somma di tre funzioni diverse??????
"lordb":
Il primo fattore:
$ ((x^6 + x^4(2 + sinx) + logx)/(1+3x^3+6x^6)) sim_(x->+oo) x^6/(6x^6)=1/6$
Ma hai capito perchè si può fare questa equivalenza asintotica?
si io ho fatto così però volevo sapere se è giusto!
Si certo!
Guarda il denominatore:
$1+3x^3+6x^6 sim_(x->+oo) 6x^6$
Segue dal teorema sui limiti delle funzioni polinomiali.
Il numeratore:
$x^6+x^4(2+sin(x))+log(x) sim_(x->+oo) x^6$
Da una parte si ha evidentemente che:
$log(x)<<<<_(x->+oo)x^6$
In quanto: $lim_(x->+oo) log(x)/x^6 = 0$
Dimostrazione:
Il fattore $2+sin(x)$ oscilla tra $[1,3]$ quindi si ha che:
$x^4(2+sin(x))<<<<_(x->+oo)x^6$
Guarda il denominatore:
$1+3x^3+6x^6 sim_(x->+oo) 6x^6$
Segue dal teorema sui limiti delle funzioni polinomiali.
Il numeratore:
$x^6+x^4(2+sin(x))+log(x) sim_(x->+oo) x^6$
Da una parte si ha evidentemente che:
$log(x)<<<<_(x->+oo)x^6$
In quanto: $lim_(x->+oo) log(x)/x^6 = 0$
Dimostrazione:
Il fattore $2+sin(x)$ oscilla tra $[1,3]$ quindi si ha che:
$x^4(2+sin(x))<<<<_(x->+oo)x^6$
ok ok grazie mille per l'aiuto!!!;-)
Di niente 
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