Limite

[ingegnè]

Giorno a tutti! sto provando a fare questo limite : $ lim root(n)((3n) / (2^n+n) ) $ ho provato a scriverlo cosi : $ lim ((3n)/(2^n+n))^(1/n) $ . Per n-> + infinito ,verrebbe 1 ( dato che l'esponente tende a zero)? se no, dove sbaglio? grazie

[Ziben]

Ciao,
avresti in realtà una forma $0^0$ che è indeterminata. Provo a spararla poi magari interviene qualcuno di più saggio e competente (vedi Theras).
asintoticamente $ (3n)/(2^n+n) $ si comporta come $1/(2^n)$. Si ha pertanto $(1/2^n)^(1/n) = 1/2$. Ma mi sa che stavolta l'ho detta grossa.

[ingegnè]

Grazie per la risposta! Il risultato è plausibile ( perchè negli esercizi che svolgo ci sono 5 risultati,4 errati e 1 esatto ) solo che io ancora non ho studiato gli asintoti.. e dato che sto facendo i limiti che trovo in compiti passati di analisi 1 per esercitarmi mi viene il dubbio che forse questo ancora non posso svolgerlo dato che, ripeto, non ho studiato gli asintoti.. vediamo se qualche altro sa consigliarmi un modo piu' "facile" per arrivarci! Io sinceramente non riesco a ricondurlo a qualche limite notevole e quella forma indeterminata mi perseguita!!

[Ziben]

Pongo ho risolto!!!
sfruttiamo il teorema che dice:
se ${a_n}$ è una successione a termini positivi e $ lim_(n -> oo) a_(n+1)/a_n=L $ allora $lim_(n -> oo) root (n)(a_n)=L$
non resta che calcolare
$lim_(n -> oo) ((3(n+1))/(2^(n+1)+n+1))/((3n)/(2^n+n))$ che diventa $lim_(n -> oo) (3n+3)/(3n) (2^n+n)/(2*2^n+n+1)$
il primo fattore tende a 1 il secondo a $1/2$ quindi il limite é proprio $1/2$

[ingegnè]

Grazie mille Ziben!!!!!! Non avevo pensato propio a questo teorema!!!!